[论文解读] Birational automorphism groups in families of hyper-Kähler manifolds

Francesco Antonio Denisi, Claudio Onorati+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2026

Geometry and complex manifolds被引用 0

一句话总结

该论文分析投影超Kähler流形的有仿射同形群在极化族中的行为，证明其上半连续性，以及在已知变形类别中无限的有仿射自同构行为在密集地出现。

ABSTRACT

We study the behavior of birational automorphism groups in families of projective hyper-Kähler manifolds.

研究动机与目标

• 理解在超Kähler流形族中 Aut(Y) 与 Bir(Y) 的关系及其与 Mori 梦空间的联系之理解动机。
• 研究极一般纤维的有仿射自同构群与在极化族内的特殊纤维之间的比较。
• 将已知的变形类型（K3^[n]、Kum^n、OG6、OG10）与具有无限 Bir(X_t) 的纤维密度联系起来。

提出的方法

• 利用单态性作用在 H^2 上及 BBF 形式通过 Mon^2(X) 及其子群来研究 Bir(X)。
• 用格论控制跨纤维的 Picard 晚区，并识别可动/锥结构。
• 利用关于稳定特征除式和墙-腔分解的已知结果来描述可动锥。
• 通过将极一般纤维与特殊纤维之间比较单态群，证明 Bir(X_t) 的上半连续性。
• 应用形变理论（Def(X)、Def(X,L)）与平行传输来关联族内的有仿射动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 极化族中超Kähler纤维的有仿射自同构群如何随参数变化？
• RQ2 有仿射自同构群在基底上是否上半连续，在何种条件下只在特殊点处可能变为无限？
• RQ3 已知超Kähler流形的变形类别与具有无限 bir 的纤维密度之间的关系如何？
• RQ4 可动和稳定特征除式如何影响族内 Bir(X_t) 的行为？
• RQ5 在纤维处于极一般时，Bir(X) 的有限性是否能对邻近的极一般纤维施加约束？

主要发现

• 存在一组特殊纤维的有限子集，其中 Bir(X_t) 的行为可能不同，而对于极一般纤维，单态群包含一个固定的 G^0，其下标有界为 N。
• 若某个 t0 的 Bir(X_t0) 在极一般集合中是有限的，则该集合中所有 t 的 Bir(X_t) 亦有限。
• 对于已知的变形类别，存在一个稠密的可数子集使得 |Bir(X_t)| 在该点取无限。
• 在圆盘上的族中，Bir(X_t) 对共限拓扑在除去有限异常集外的情形下具有上半连续性。
• 推论：在已知变形类型中的非平凡族中，存在一个纤维的稠密子集具有无限的有仿射自同构群，这一结论不再需要投影性假设。
• 本文给出具体例子，其中极一般成员的 Picard 数为 1（Bir 有限），但特殊成员却有无限 Bir，并形成稠密子集。