[论文解读] Birational geometry and localisation of categories

Bruno Kahn, R. Sujatha|arXiv (Cornell University)|May 24, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 10

一句话总结

本文通过将域 F 上光滑概形的范畴关于双有理态射进行局部化，建立了双有理几何与范畴论之间的深刻联系。证明了在局部化范畴中，从光滑概形 X 到射影光滑概形 Y 的态射与 Y 上 F(X)-有理点的 R-等价类之间存在双射，从而为 R-等价提供了范畴解释，并通过函子性统一了双有理不变量。

ABSTRACT

This version corrects a wrong proof of Proposition 6.3.2 and simplifies the exposition in Section 6.

研究动机与目标

• 阐明函数域的赋值与双有理几何中合理映射之间的关系。
• 定义并研究两类分式范畴：通过赋值定义的粗双有理范畴，以及通过光滑概形范畴局部化得到的细双有理范畴。
• 计算局部化范畴 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ 中的 Hom 集，特别是目标为射影概形的情形。
• 证明 R-等价类的有理点是双有理不变量，并在其中定义复合法则。
• 建立离散赋值环的商范畴与局部化范畴 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ 之间的等价关系。

提出的方法

• 将光滑 F-概形的范畴 $ \mathbf{Sm}(F) $ 沿着双有理态射类 $ S_b $ 局部化，形成 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $，即细双有理范畴。
• 定义粗双有理范畴 $ \mathbf{place} $，其对象为函数域，态射为 F-赋值。
• 引入可分生成函数域的子范畴 $ \mathbf{dv} $，并通过赋值的同伦关系与光滑模型上的公共中心，对态射定义等价关系。
• 构造从商范畴 $ (\mathbf{dv}/h')^{\mathrm{op}} $ 的对范畴到 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ 的函子 $ \overline{\Psi} $，并证明其为范畴等价。
• 利用奇点解消与形变技术（包括 Gabber 通过弧形变与逐次在闭点处的爆破的论证）证明：正规概形特殊纤维上的点是 R-等价的。
• 应用 Yoneda 引理及其对偶性，证明任意双有理函子在光滑射影概形上均能通过 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}^{\mathrm{prop}}(F) $ 因子化。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数域的赋值与光滑概形之间的合理映射之间有何关系？
• RQ2 局部化范畴 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ 的结构如何？其态射代表什么？
• RQ3 能否在光滑射影概形上自然地定义有理点的 R-等价类？它们是否为双有理不变量？
• RQ4 是否存在离散赋值环范畴（满足特定关系）与细双有理范畴之间的范畴等价？
• RQ5 在何种条件下，正规概形特殊纤维上的点是 R-等价的？

主要发现

• 在局部化范畴 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ 中，从光滑 F-概形 $ X $ 到射影光滑 F-概形 $ Y $ 的态射集合，自然同构于 R-等价类集合 $ Y(F(X))/R $。
• 自然函子 $ S_b^{-1}\mathbf{Sm}^{\mathrm{prop}}(F) \to S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $ 是满的，且在特征 0 时为范畴等价。
• 映射 $ X \mapsto X(F)/R $ 是光滑射影 F-概形的双有理不变量，将特征 0 中已知结果推广至任意特征。
• 光滑射影概形上 R-等价类的有理点存在良定义的复合法则，且该法则源于范畴结构。
• 存在范畴等价 $ (\mathbf{dv}/h')^{\mathrm{op}} \xrightarrow{\sim} S_b^{-1}\mathbf{Sm}(F) $，其中 $ \mathbf{dv} $ 为可分生成函数域的范畴，其态射由域扩张与来自良好离散赋值环的赋值生成。
• Gabber 的论证确认：在适度假设下，通过弧形变与逐次在闭点处的爆破，正规概形特殊纤维上的任意两个 F-点均为 R-等价。