[论文解读] Birational geometry for number theorists

Dan Abramovich|ArXiv.org|Jan 3, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 20

一句话总结

本文通过探讨几何不变量（尤其是Kodaira维数和canonical除子）如何决定代数簇上有理点与整数点的分布，弥合了双有理几何与算术几何之间的鸿沟。研究证明，Vojta猜想与Campana的轨道簇猜想统一并推广了ABC猜想，关键结果表明：在特定轨道簇曲线上，整数点的有限性可由ABC猜想推出；而高维Vojta猜想则蕴含非特殊簇上整数点的有限性结果。

ABSTRACT

Awfully idiosyncratic lecture notes from CMI summer school in arithmetic geometry July 31-August 4, 2006. Does not include: rationality problems, techniques of the minimal model problem and much of the rest. Includes: Lecture 0: geometry and arithmetic of curves Lecture 1: Kodaira dimension and properties, rational connectendess, Lang's and Campana's conjectures. Lecture 2: Campana's program; Campana constellations framed in terms of b-divisors, to allow for a definition of Kodaira dimension directly on the base. A speculative notion of firmaments which may deserve further investigation, especially the arithmetic side. Lecture 3: the minimal model program: very short discussion of bend-and-break; even shorter discussion of finite generation and the existence of flip. Lecture 4: Vojta's conjectures, Campana's conjectures, and ABC.

研究动机与目标

• 探讨几何与算术之间深刻的联系，特别是双有理不变量如何支配代数簇上有理点与整数点的分布。
• 解释并阐明Vojta猜想与Campana的轨道簇猜想作为丢番图有限性结果的统一框架。
• 证明ABC猜想是Vojta猜想在P^1上具有三个点的除子时的特例。
• 表明Campana关于一般型轨道簇曲线上有限软S-整数点的猜想，可由ABC猜想推出。
• 建议高维Vojta猜想蕴含非特殊簇上有理点的非稠密性，尤其是在除子的奇点邻域附近。

提出的方法

• 利用曲线上的canonical除子与线丛定义几何不变量（如K_C的度数与K_X(D)的度数），这些不变量支配算术行为。
• 在Vojta猜想中应用高度函数与对数判别式项，以比较代数簇上的算术与几何数据。
• 将轨道簇曲线上整数点的研究约化为P^1上带权除子的有理点问题，借助Belyi映射与重数条件。
• 将ABC猜想转化为涉及N^{(1)}_S(D,P)与h_{K_X(D)}(P)的高度不等式，证明其与Vojta猜想的特例等价。
• 分析P^1上最小除子类型（2,3,7）、（2,4,5）等的结构，以分类出ABC猜想可推出整数点有限性的案例。
• 利用max(|a|,|b|,|c|)与abc的素因子乘积之间的不等式来界定解的范围，依赖于条件1/n₀ + 1/n₁ + 1/n∞ < 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何不变量（如Kodaira维数与canonical除子）如何决定代数簇上有理点的稠密性或有限性？
• RQ2 在P^1上具有三个点的除子的有理点背景下，Vojta猜想在多大程度上蕴含或推广了ABC猜想？
• RQ3 Campana关于一般型轨道簇曲线上有限软S-整数点的猜想能否约化为ABC猜想？
• RQ4 在高维Vojta型猜想中，除子D的奇点集在有理点非稠密性中起何作用？
• RQ5 Campana构造中除子的重数条件如何通过ABC猜想导致整数点的有限性？

主要发现

• ABC猜想等价于P^1上具有在三个点上支撑的除子D的Vojta猜想的特例，其中h(P) ≤ (1+ε)N^{(1)}_S(D,P) + O(1)。
• 对于具有除子重数(2,3,7)、(2,4,5)、(3,3,4)、(2,2,2,3)或(2,2,2,2,2)的Campana星象曲线，软S-整数点的有限性可由ABC猜想推出。
• 当1/n₀ + 1/n₁ + 1/n∞ < 1时，ABC猜想意味着max(|a|,|b|,|c|)有界，因此此类轨道簇曲线上仅有有限多个整数点。
• 不等式M^{1/n₀ + 1/n₁ + 1/n∞} ≥ ∏_{p|abc} p，结合ABC猜想，可推出M^{1−ε} < C（ε > 0），从而证明解的有界性。
• 高维Vojta猜想表明，非特殊簇上的有理点不是Zariski稠密的，尤其当点趋近于除子D的奇点集时。
• 建立了Vojta猜想4.2.1与4.2.2之间的等价性，表明原始表述中dim X的判别因子并非必要。