[论文解读] Birational maps of moduli of Brill-Noether pairs

David C. Butler|ArXiv.org|May 7, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 31

一句话总结

该论文在 $ C $ 为一般曲线、$ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $ 且 $ g \geq n^2 - 1 $ 的条件下，构建了从 $ G_{\beta}(n,d,n+1) $ 到 $ G_{\beta}(1,d,n+1) $ 的显式双有理映射。其关键贡献是通过对偶张成构造诱导出的双有理同构，将秩为 $ n $ 且具有 $ n+1 $ 个截面的稳定对映射到秩为 1 且具有 $ n+1 $ 个截面的稳定对，支持了此类模空间之间双有理等价性的更广泛猜想。

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth projective irreducible curve of genus $g$. And let $G_α(n,d,l)$ be the moduli space of $α$ stable pairs of a vector bundle of $ ank n, °d$ and a subspace of $H^0(C,E)$ of $\dim = l $. We find an explicit birational map from $G_α (n, d, n+1)$ to $G_α (1, d, n+1)$ for $C$ general, $1/α\gg 0$ and $g \ge n^2-1$. Because of this and other examples, we conjecture $G_α (a, d, a+z)$ maps birationally to $G_α (z, d, a+z)$ for $1/ α\gg 0$ and $C$ general with $g>2$.

研究动机与目标

• 建立不同秩但相同截面数的布里尔-诺特对模空间之间的双有理同构。
• 研究在一般曲线上且 $ \alpha $ 足够小时，$ G_{\alpha}(a,d,a+z) $ 是否与 $ G_{\alpha}(z,d,a+z) $ 双有理等价。
• 通过限制在 $ \alpha $-稳定对和一般曲线上，解决对偶张成构造中的稳定性问题。
• 将关于布里尔-诺特子簇的已知结果推广到固定截面维数的 $ \alpha $-稳定对情形。

提出的方法

• 使用对偶张成映射：对满足 $ V \subseteq H^0(C,E) $ 的对 $ (E,V) $，构造 $ M_V $ 为从 $ V \otimes \mathcal{O}_C \to E $ 的评价映射的核，然后映射到 $ (M_V^*, V^*) $。
• 应用 $ \alpha $-稳定性条件，其中 $ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $，确保在一般条件下，$ (E,V) $ 的 $ \alpha $-稳定性蕴含其对偶张成的 $ \alpha $-稳定性。
• 将对偶张成映射用作 $ S_\alpha(n,d,n+1) $ 与 $ S_\alpha(1,d,n+1) $ 之间的双有理对合，即 $ \alpha $-稳定生成对的集合。
• 依赖于在一般曲线且 $ g \geq n^2 - 1 $ 时，$ G_\alpha(n,d,n+1) $ 中的一般 $ \alpha $-稳定对是生成的，从而保证对偶张成构造的可行性。
• 使用初等变换（点处的本原变换）将构造扩展到 $ d > 4 $ 时的高阶线丛，证明模空间非空。
• 应用兰格和那拉辛汉关于本原变换稳定性结果，确保变换后的丛保持 $ \alpha $-稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般曲线且 $ \alpha $ 足够小时，是否存在 $ G_\alpha(n,d,n+1) $ 与 $ G_\alpha(1,d,n+1) $ 之间的双有理映射？
• RQ2 在何种条件下，对偶张成映射在 $ \alpha $-稳定生成对的层面上成为同构？
• RQ3 当 $ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $ 时，能否在一般情况下建立 $ G_\alpha(a,d,a+z) $ 与 $ G_\alpha(z,d,a+z) $ 之间的双有理等价性？
• RQ4 曲线的亏格和截面维数在决定模空间双有理类型中起什么作用？
• RQ5 对偶张成构造在何种情况下因不稳定性而失败，以及如何避免此类失败？

主要发现

• 对于亏格 $ g \geq n^2 - 1 $ 的一般曲线 $ C $，且 $ \frac{1}{\alpha} \gg 0 $，在约化模空间 $ S_\alpha(n,d,n+1)_{\text{red}} $ 与 $ S_\alpha(1,d,n+1)_{\text{red}} $ 之间存在双有理同构。
• 在所述条件下，对偶张成映射在 $ G_\alpha(n,d,n+1) $ 与 $ G_\alpha(1,d,n+1) $ 之间诱导出双有理等价，其逆映射由评价序列的核的对偶给出。
• 该构造之所以成功，是因为 $ G_\alpha(n,d,n+1) $ 中的一般 $ \alpha $-稳定对是生成的，从而保证对偶张成映射在稠密开子集上良定义且可逆。
• 当 $ n=2 $ 时，由于已知 $ W^3_{2,d} $ 的不可约性和约化性，结果得到加强，可得出更强的同构陈述。
• 使用初等变换（本原变换）证明了当 $ d \geq 5 $ 时 $ G_\alpha(2,d,3) $ 非空，且主定理的维数计数适用。
• 本文证明：若 $ \rho(g,n,n,d) < 0 $，则 $ W^n_{n,d} = \emptyset $，在一般曲线假设下揭示了某些布里尔-诺特子簇的非存在性结果。