[论文解读] Birationally rigid complete intersections of codimension two

Daniel Evans, Александр Валентинович Пухликов|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文建立了复射影空间中余维二的一般完全交的双有理超刚性，证明在参数空间中非刚性法诺簇的集合的余维至少为 $\frac{1}{2}(M-9)(M-10)-1$（当 $M \geq 13$ 时）。该结果将超刚性推广至具有可控奇点的完全交，通过局部与整体正则性条件控制奇点，并应用双正则刚性方法。

ABSTRACT

We prove that in the parameter space of $M$-dimensional Fano complete intersections of index one and codimension two the locus of varieties that are not birationally superrigid has codimension at least $\frac12 (M-9)(M-10)-1$.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{P}^{M+2}$ 中建立一般余维二法诺完全交的双有理超刚性，其指标为一。
• 估计参数空间中此类簇不具有双有理超刚性的子簇的余维。
• 将超刚性结果推广至具有可控奇点的完全交，包括二次奇点与双二次奇点。
• 提供明确的局部与整体正则性条件，以确保因子性、终端奇点及双有理刚性。

提出的方法

• 定义参数空间 $\mathcal{P} = |\mathcal{O}(d_1)| \times |\mathcal{O}(d_2)|$ 中的扎里斯基开子集 $\mathcal{P}_{\text{reg}} \subset \mathcal{P}$，其中的对 $(f_1, f_2)$ 满足特定正则性条件。
• 施加条件 (R0.1)–(R3.1)，以确保完全交 $V = V(f_1, f_2)$ 的不可约性、非退化性、因子性及终端奇点。
• 使用极大奇异点方法与移动线性系统分析双有理映射，并证明超刚性。
• 通过雅可比矩阵的行列式条件与二次型的秩条件，进行余维估计。
• 利用关于低秩二次型及可约或局部非约化截面的余维已知结果，估计坏点集的余维。
• 综合所有正则性条件的余维界，推导出全局下界 $\frac{1}{2}(M-9)(M-10)-1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在余维二法诺完全交的参数空间中，非双有理超刚性的簇的集合的余维是多少？
• RQ2 温和奇点——二次与双二次奇点——如何影响余维一完全交的双有理刚性？
• RQ3 能否在光滑情形之外，对具有可控奇点的一般完全交建立双有理超刚性？
• RQ4 哪些明确的正则性条件可确保此类族中因子性、终端性与超刚性？

主要发现

• 在 $\mathbb{P}^{M+2}$ 中，余维二法诺完全交中非双有理超刚性的簇的集合，在参数空间中的余维至少为 $\frac{1}{2}(M-9)(M-10)-1$（当 $M \geq 13$ 时）。
• 对一般 $(f_1, f_2) \in \mathcal{P}_{\text{reg}}$，簇 $V = V(f_1, f_2)$ 是因子簇，具有终端奇点，且为指标一、维数 $M$ 的本原法诺簇。
• 簇 $V$ 不允许到正维数有理连通基的有理支配映射，从而蕴含非有理性。
• 簇 $V$ 的双有理自同构群与自同构群一致，即 $\text{Bir } V = \text{Aut } V$，这是超刚性的典型特征。
• 违反二次奇点秩条件 (R2.1) 的集合的余维至少为 $\binom{M-5}{2}+1$。
• 违反双二次奇点条件 (R3.1) 的集合的余维至少为 $\binom{M-9}{2}-1$，当 $M \geq 13$ 时，该界占主导地位。