[论文解读] Birkhoff sum fluctuations in substitution dynamical systems

Elliot Paquette, Y. G. Son|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了原始代换动力系统中Birkhoff和的中心极限定理，表明具有模为1的本征值（即单位模本征值）但不是上边缘函数的代换矩阵本征函数，其波动具有渐近正态性。对于非上边缘函数且单位模本征值的本征函数，归一化的Birkhoff和收敛于正态分布；而具有非单位模本征值的本征函数则收敛于支撑在Cantor集上的奇异分布。

ABSTRACT

We consider the deviation of Birkhoff sums along fixed orbits of substitution dynamical systems. We show distributional convergence for the Birkhoff sums of eigenfunctions of the substitution matrix. For noncoboundary eigenfunctions with eigenvalue of modulus 1, we obtain a central limit theorem. For other eigenfunctions, we show convergence to distributions supported on Cantor sets. We also give a new criterion for such an eigenfunction to be a coboundary, as well as a new characterization of substitution dynamical systems with bounded discrepancy

研究动机与目标

• 分析原始代换动力系统中固定轨道上Birkhoff和的分布波动。
• 刻画代换矩阵的本征函数何时为上边缘函数，因为这会影响Birkhoff和的极限分布。
• 为具有单位模本征值（|λ| = 1）的非上边缘函数本征函数建立中心极限定理。
• 识别具有非单位模本征值的本征函数的极限分布，表明其收敛于Cantor集上的奇异测度。
• 提出一种新判据，利用谱性质与重整化特性判断给定本征函数是否为上边缘函数。

提出的方法

• 利用代换矩阵 $ M $ 的本征函数 $ f $ 的重整化恒等式 $ S_f(\theta^k(w)) = \lambda_f^k S_f(w) $，该恒等式将不同尺度下的Birkhoff和联系起来。
• 对归一化的Birkhoff和 $ Y_N $ 应用鞅中心极限定理，将其分解为 $ Y_N = Z_N + \lambda h(X_1) - \lambda^{N+1}(Ph)(X_N) $，其中 $ Z_N $ 为鞅。
• 分析鞅增量 $ \mathbb{E}|h(X_{i+1}) - (Ph)(X_i)|^2 $ 的方差，证明其当且仅当 $ (I - P^*P)h = 0 $ 时为零，从而刻画出上边缘函数。
• 利用 $ (I - \overline{\lambda}P^*)^{-1} $ 和 $ (I - \lambda P)^{-1} $ 的Neumann级数展开，推导归一化和的极限方差。
• 证明当 $ \lambda \notin \mathbb{R} $ 时，极限分布的实部与虚部独立同分布，从而表明具有圆对称性。
• 利用代换矩阵 $ M $ 的谱性质，特别是Perron-Frobenius本征值 $ \lambda $，定义中心极限定理中的归一化尺度 $ \log_\lambda N $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，代换动力系统中本征函数的Birkhoff和表现出渐近正态波动？
• RQ2 代换矩阵的本征函数在何时为上边缘函数，且这如何影响Birkhoff和的极限分布？
• RQ3 具有非单位模本征值的本征函数的Birkhoff和的极限分布是什么？
• RQ4 代换系统的重整化结构如何导致Birkhoff和的自相似波动？
• RQ5 能否基于谱性质与马尔可夫链性质，推导出判断给定本征函数是否为上边缘函数的新准则？

主要发现

• 对于具有单位模本征值 $ \lambda_f = 1 $ 且非上边缘函数的本征函数 $ f $，归一化的Birkhoff和 $ \frac{S_f(u_{\leq n}) - c_1 \log_\lambda n}{c_2 \sqrt{\log_\lambda n}} $ 在分布上收敛于标准正态随机变量。
• 归一化Birkhoff和的极限方差为 $ \mathbb{E}|Z|^2 = \left( (I - \overline{\lambda}P^* - \lambda P + \lambda \overline{\lambda} P^*P)g, g \right)_\pi $，通过Neumann级数展开推导得出。
• 对于具有非单位模本征值的本征函数，Birkhoff和在分布上收敛于支撑在Cantor集上的奇异测度，表明其波动非高斯。
• 条件 $ \mathbb{E}|h(X_2) - (Ph)(X_1)|^2 = 0 $ 当且仅当 $ (I - P^*P)h = 0 $ 成立，提供了上边缘函数的谱判据。
• 当 $ \lambda \notin \mathbb{R} $ 时，极限分布的实部与虚部独立且具有相等方差，表明具有圆对称性。
• 本文提出了对有界差异代换系统的新刻画：此类系统恰好是所有模为1的本征函数均为上边缘函数的系统。