[论文解读] Birth and death process with one-side bounded jumps in random environment

Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文研究了一类在随机环境中具有单侧有界跳跃的出生死亡过程，其中跃迁率依赖于独立同分布的随机参数。通过利用随机环境中的多类型分支过程对首次通过时间进行分解，作者推导出淬灭平均首次通过时间的显式公式，并建立了具有显式渐近速度的大数定律，首次在一般有界跳跃动力学下对随机环境中过程的长期行为提供了严格的表征。

ABSTRACT

Let $ω=(ω_i)_{i\in\mathbb Z}=(μ^{L}_i,...,μ^{1}_i,λ_i)_{i\in \mathbb Z}$, which serves as the environment, be a sequence of i.i.d. random nonnegative vectors, with $L\ge1$ a positive integer. We study birth and death process $N_t$ which, given the environment $ω,$ waits at a state $n$ an exponentially distributed time with parameter $λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n$ and then jumps to $n-i$ with probability ${μ^i_n}/(λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n),$ $i=1,...,L$ or to $n+1$ with probability ${λ_n}/(λ_n+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_n).$ A sufficient condition for the existence, a criterion for recurrence, and a law of large numbers of the process $N_t$ are presented. We show that the first passage time $T_1\overset{\mathscr D}{=}ξ_{0,1}+\sum_{i\le -1}\sum_{k=1}^{U_{i,1}}ξ_{i,k}+\sum_{i\le -1}\sum_{k= 1}^{U_{i,1}+...+U_{i,L}} ildeξ_{i+1,k},$ where $(U_{i,1},...,U_{i,L})_{i\le0}$ is an $L$-type branching process in random environment and, given $ω,$ $ξ_{i,k},\ ildeξ_{i,k},\ i\le 0,\ k\ge 1$ are mutually independent random variables such that $P_ω(ξ_{i,k}\ge t)=e^{-(λ_i+\sum_{l=1}^Lμ^{l}_i)t},\ t\ge 0.$ This fact enables us to give an explicit velocity of the law of large numbers.

研究动机与目标

• 在一般条件下，建立随机环境中具有有界跳跃的出生死亡过程存在的可能性。
• 基于其嵌入的随机游走结构，推导该过程的常返性或非常返性的判别准则。
• 证明该过程的强 law of large numbers，并计算其显式渐近速度。
• 通过随机环境中的多类型分支过程分解首次通过时间，以实现精确的渐近分析。

提出的方法

• 使用保守的 Q-矩阵来定义状态相关跳跃率的连续时间马尔可夫过程。
• 在条件 (C1) 和 (C2) 下应用 Q-过程的经典存在性与唯一性结果，确保路径几乎必然唯一。
• 将嵌入的离散时间过程建模为具有有界跳跃的随机环境中的随机游走。
• 使用随机环境中的多类型分支过程来计算在首次到达正整数之前对每个状态的访问次数。
• 将首次通过时间 $T_1$ 分解为加权的指数等待时间之和，利用独立性与无记忆性。
• 通过转移率比值的矩阵积推导 $T_1$ 的淬灭期望，从而在大数定律中得出显式速度公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机环境中具有有界跳跃的出生死亡过程几乎必然存在？
• RQ2 该过程的常返性或非常返性判别准则如何由环境分布决定？
• RQ3 在大数定律框架下，该过程的显式渐近速度是什么？
• RQ4 如何对首次通过时间进行分解，以获得到达正状态的期望时间的精确公式？

主要发现

• 在条件 (C1) 和 (C2) 下，过程 $N_t$ 几乎必然存在，这些条件确保了转移半群的唯一性。
• 常返性判别准则取决于嵌入的随机环境中的随机游走行为，将已知结果推广至有界跳跃情形。
• 首次通过时间 $T_1$ 可分解为涉及随机环境中的多类型分支过程和独立指数随机变量的结构。
• 淬灭期望的显式表达式为 $\mathbb{E}_\omega[T_1] = \sum_{i \leq 0} \frac{1}{\lambda_i + \sum_{l=1}^L \mu_i^l} \mathbf{e}_1 M_0 \cdots M_{i+1} \mathbf{1}$，其中 $M_i$ 为转移矩阵。
• 大数定律成立，且具有显式速度：当 $\mathbb{E}[S(\omega)] < \infty$ 时，几乎必然有 $\lim_{t \to \infty} N_t / t = (\mathbb{E}[S(\omega)])^{-1}$，其中 $S(\omega)$ 为淬灭平均首次通过时间。
• 当 $\mathbb{E}[S(\omega)] = \infty$ 时，过程满足 $\lim_{t \to \infty} N_t / t = 0$ 几乎必然，表明其为零常返或向右非常返。