[论文解读] Birthday Paradox, Monochromatic Subgraphs, and the Second Moment Phenomenon

Bhaswar B. Bhattacharya, Somabha Mukherjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本论文证明了：当随机顶点着色的图 $G_n$ 使用 $c_n$ 种颜色时，若固定图 $H$ 的单色副本数的期望与方差均收敛于同一极限 $ olambda$，则该计数的分布收敛于泊松分布。对于所有图 $H$，第二矩现象普遍成立，但该条件仅在 $H$ 为星图时才是必要且充分的；此外，该结果可推广至独立泊松随机变量的有限线性组合的一般极限定理。

ABSTRACT

What is the chance that among a group of $n$ friends, there are $s$ friends all of whom have the same birthday? This is the celebrated birthday problem which can be formulated as the existence of a monochromatic $s$-clique $K_s$ ($s$-matching birthdays) in the complete graph $K_n$, where every vertex of $K_n$ is uniformly colored with $365$ colors (corresponding to birthdays). More generally, for a general connected graph $H$, let $T(H, G_n)$ be the number of monochromatic copies of $H$ in a uniformly random coloring of the vertices of the graph $G_n$ with $c_n$ colors. In this paper we show that $T(H, G_n)$ converges to $\mathrm{Pois}(\lambda)$ whenever $\mathbb E T(H, G_n) ightarrow \lambda$ and $\mathrm{Var} T(H, G_n) ightarrow \lambda$, that is, the asymptotic Poisson distribution of $T(H, G_n)$ is determined just by the convergence of its mean and variance. Moreover, this condition is necessary if and only if $H$ is a star-graph. In fact, the second-moment phenomenon is a consequence of a more general theorem about the convergence of $T(H,G_n)$ to a finite linear combination of independent Poisson random variables. As an application, we derive the limiting distribution of $T(H, G_n)$, when $G_n\sim G(n, p)$ is the Erdős-Renyi random graph. Multiple phase-transitions emerge as $p$ varies from 0 to 1, depending on whether the graph $H$ is balanced or unbalanced.

研究动机与目标

• 确定在随机顶点着色下，图 $G_n$ 中固定图 $H$ 的单色副本数收敛于泊松分布的条件。
• 仅基于一阶与二阶矩收敛的条件下，刻画第二矩现象——即单色子图分布收敛于泊松分布——成立的条件。
• 将结果从单一泊松极限推广至涉及独立泊松随机变量有限线性组合的一般收敛定理。
• 分析当 $G_n$ 为 Erdős–Rényi 随机图 $G(n,p)$ 时，$T(H, G_n)$ 的极限分布，基于 $H$ 的结构识别相变。

提出的方法

• 定义 $T(H, G_n)$ 为在 $G_n$ 的均匀随机 $c_n$-着色中，固定图 $H$ 的单色副本数。
• 证明 $T(H, G_n) \xrightarrow{d} \mathrm{Pois}(\lambda)$ 当且仅当 $\mathbb{E}[T(H, G_n)] \to \lambda$ 且 $\mathrm{Var}[T(H, G_n)] \to \lambda$，且该条件在 $H$ 为星图时恰好是必要且充分的。
• 证明一个一般极限定理，表明在适当的矩条件下，$T(H, G_n)$ 的分布收敛于独立泊松随机变量的有限线性组合。
• 将该一般定理应用于 $G_n \sim G(n,p)$ 的情形，分析 $p$ 从 0 到 1 变化时 $T(H, G_n)$ 的行为。
• 基于 $H$ 是否为平衡图或非平衡图，利用 $H$ 的结构性质对极限分布中的相变进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G_n$ 的随机着色中，固定图 $H$ 的单色副本数在何种条件下收敛于泊松随机变量的分布？
• RQ2 当一阶与二阶矩均收敛于同一极限 $ olambda$ 时，是否为第二矩现象成立的必要且充分条件？
• RQ3 在一般矩条件下，$T(H, G_n)$ 的极限分布能否被表征为独立泊松变量的有限线性组合？
• RQ4 在 $G(n,p)$ 中，$T(H, G_n)$ 的极限分布如何随 $p$ 变化？基于 $H$ 的结构，会涌现出何种相变？

主要发现

• 当且仅当 $\mathbb{E}[T(H, G_n)]$ 与 $\mathrm{Var}[T(H, G_n)]$ 均收敛于 $ olambda$ 时，$G_n$ 的随机着色中单色 $H$-副本数的分布收敛于 $\mathrm{Pois}(\lambda)$，且该条件仅在 $H$ 为星图时是必要且充分的。
• 对于一般 $H$，若一阶与二阶矩适当收敛，则 $T(H, G_n)$ 的极限分布为独立泊松随机变量的有限线性组合。
• 在 Erdős–Rényi 随机图 $G(n,p)$ 中，随着 $p$ 从 0 增加到 1，$T(H, G_n)$ 的极限分布出现多个相变，具体取决于 $H$ 是否为平衡图。
• 第二矩现象源于一个更深层的结构定理：$T(H, G_n)$ 收敛于泊松混合分布，该定理将经典生日问题推广至任意图。