[论文解读] Bisections of graphs

Choongbum Lee, Po‐Shen Loh+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用 1

一句话总结

本文通过引入最大度和紧致分量数作为关键参数，将Edwards的经典最大割界推广至分割。证明了任意无孤立顶点且最大度不超过 n/3 + 1 的图，其分割大小至少为 m/2 + n/6；并进一步建立了合理的分割结果，表明最小度至少为 2 的图存在一种分割，使得每部分内部边数至多为 (1/3 + o(1))m，从而证实了Bollobás与Scott的猜想。

ABSTRACT

A bisection of a graph is a bipartition of its vertex set in which the number of vertices in the two parts differ by at most 1, and its size is the number of edges which go across the two parts. In this paper, motivated by several questions and conjectures of Bollobás and Scott, we study maximum bisections of graphs. First, we extend the classical Edwards bound on maximum cuts to bisections. A simple corollary of our result implies that every graph on <em>n</em> vertices and <em>m </em> edges with no isolated vertices, and maximum degree at mostn/3+1, admits a bisection of size at least m/2+n/6. Then using the tools that we developed to extend Edwardsʼs bound, we prove a judicious bisection result which states that graphs with large minimum degree have a bisection in which both parts span relatively few edges. A special case of this general theorem answers a conjecture of Bollobás and Scott, and shows that every graph on <em>n</em> vertices and <em>m </em> edges of minimum degree at least 2 admits a bisection in which the number of edges in each part is at most(1/3+o(1))m. We also present several other results on bisections of graphs.

研究动机与目标

• 通过引入最大度和一种新的结构参数——紧致分量数，将Edwards关于最大割的经典界推广至分割。
• 在最大度有界且无孤立顶点的图中，建立分割大小的改进下界。
• 通过证明最小度至少为 2 的图存在一种分割，使得每部分内部边数至多为 (1/3 + o(1))m，从而解决Bollobás与Scott关于合理分割的猜想。
• 开发新的分析工具，结合概率方法与极值组合学，以处理图划分中多个参数的联合优化。
• 探讨紧致分量的结构特性及其在分割界中的作用，特别是在正则图和有界度图中的表现。

提出的方法

• 引入‘紧致分量’的概念——即在移除任意一个顶点后，其子图的最大割仍较大的连通分量，并将其作为分割分析中的结构参数。
• 使用改进的贪心算法与一阶矩概率论证，推导分割大小的下界，并调整以保持顶点划分的平衡。
• 应用方差与集中不等式，强化初始概率界，实现对割大小与每部分内部边数的同步控制。
• 证明在最小度 δ ≥ 2 的图中，存在一种分割，使得每部分内部边数至多为 (1/3 + o(1))m，方法包括结构分解与顶点重分配论证。
• 利用色数与最大割之间的关系，在正则图中寻找初始分割，然后通过顶点移动实现平衡，同时保持割大小不变。
• 利用极值构造识别紧致情形，并验证边界在正则图与高最小度图中的渐近紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Edwards关于最大割的界能否通过引入最大度和紧致分量等结构参数，推广至分割？
• RQ2 对于无孤立顶点且最大度至多为 n/3 + 1 的图，其分割大小的最优下界是什么？
• RQ3 每个最小度至少为 2 的图是否都存在一种分割，使得每部分内部边数至多为 (1/3 + o(1))m，正如Bollobás与Scott所猜想的？
• RQ4 能否消除合理分割界中 o(m) 的误差项，从而对最小度 δ ≥ 2 的图获得精确界 (δ+2)/(4(δ+1))m？
• RQ5 紧致分量在极值分割构造中起什么作用？所有此类分量是否都能由奇团和顶点识别分量等基本构建块构成？

主要发现

• 任意具有 m 条边、n 个顶点、无孤立顶点且最大度至多为 n/3 + 1 的图，均存在一种分割，其割大小至少为 m/2 + n/6。
• 本文建立的分割界通过引入紧致分量数和最大度，扩展了Edwards的经典割界。
• 对于最小度至少为 2 的图，存在一种分割，使得每部分内部边数至多为 (1/3 + o(1))m，从而证实了Bollobás与Scott的猜想。
• 在 r-正则图中，当 r 为奇数时，存在一种分割，其割大小至少为 (r+1)/(2r) m；当 r 为偶数时，至少为 (r+2)/(2(r+1)) m。
• r-正则图的界在 o(1) 误差项范围内是紧致的，该结果通过战略性地移动顶点平衡初始二分划分而实现，且割大小保持不变。
• 合理分割界对应的极值例子本质上是唯一的：要么是 δ+1 个高阶顶点且无其他边，要么是一个高阶顶点，其余部分包含正确数量的紧致分量。