[论文解读] Bisector surfaces and circumscribed spheres of tetrahedra derived by translation curves in $\SOL$ geometry

Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|May 10, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文研究了 $ΓΟΛ$ 几何中的平移曲线与等距曲面，推导出两点间类似平移的等距曲面方程，并提出一种计算四面体外接平移球球心与半径的方法。关键结果表明，在平移三角形中，等腰性质并不意味着两角相等，且三角不等式不成立，凸显了 $ΟΟΟ$ 几何中的非欧几里得行为。

ABSTRACT

In the present paper we study the $\SOL$ geometry that is one of the eight homogeneous Thurston 3-geomet\-ri\-es. We determine the equation of the translation-like bisector surface of any two points. We prove, that the isosceles property of a translation triangle is not equivalent to two angles of the triangle being equal and that the triangle inequalities do not remain valid for translation triangles in general. Moreover, we develop a method to determine the centre and the radius of the circumscribed translation sphere of a given {\it translation tetrahedron}. In our work we will use for computations and visualizations the projective model of $\SOL$ described by E. Molnár in \cite{M97}.

研究动机与目标

• 分析 $ΟΟΟ$ 几何（一种齐次 Thurston 几何）中平移曲线的几何性质。
• 推导 $ΟΟΟ$ 空间中任意两点间类似平移的等距曲面方程。
• 研究平移三角形中三角不等式与等腰性质的有效性。
• 开发一种计算四面体外接平移球球心与半径的计算方法。
• 应用 $ΟΟΟ$ 几何的射影模型，用于几何对象的可视化与计算。

提出的方法

• 本文采用 E. Molnár 所述的 $ΟΟΟ$ 几何射影模型，以代数方式表示点与变换。
• 平移曲线被定义为切向量为 $ΟΟΟ$ 李群右不变向量场的曲线，由此导出一组常微分方程。
• 平移距离函数 $d^t$ 由群乘法导出，并用于定义两点间的等距曲面。
• 两点间的等距曲面通过求解在 $d^t$ 下距离相等的点的轨迹得到，借助引理 3.3 得到显式代数方程。
• 四面体的外心通过求解方程组 $d^t(A_i, C) = d^t(A_j, C)$（其中 $i,j \in \{1,2,3,4\}$，$i<j$）得到，利用等距曲面方程。
• 一旦确定外心 $C$，外接球半径即计算为 $r = d^t(A_1, C)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ΟΟΟ$ 几何中，平移三角形的等腰性质是否意味着两个角相等？
• RQ2 在 $ΟΟΟ$ 几何中，平移三角形是否满足标准三角不等式？
• RQ3 能否通过平移距离唯一确定 $ΟΟΟ$ 几何中四面体的外心与外接球半径？
• RQ4 在 $ΟΟΟ$ 空间中，两点间类似平移的等距曲面的代数形式是什么？
• RQ5 在 $ΟΟΟ$ 几何中，如何参数化平移三角形三个顶点等距点的轨迹？

主要发现

• 平移三角形的等腰性质与两角相等并不等价，表明 $ΟΟΟ$ 几何中存在非欧几里得行为。
• 在 $ΟΟΟ$ 几何中，平移三角形通常不满足三角不等式，表明其度量性质与欧几里得几何有显著差异。
• 在 $ΟΟΟ$ 几何中，任意平移四面体的外心与外接球半径均可通过求解由平移距离相等导出的方程组唯一确定。
• 对于位于 $[x,y]$-平面（$z=0$）的平移三角形，等距点的轨迹由方程 (3.9) 给出的 $z$ 的有理函数参数化。
• 顶点为 $A_1=(1,0,0,0)$，$A_2=(1,\frac{√{3}}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{40})$，$A_3=(1,\frac{1}{8},\frac{√{3}}{8},-\frac{1}{40})$，$A_4=(1,\frac{1}{20},\frac{3}{20},\frac{1}{5})$ 的四面体，其外接球半径约为 $r \approx 0.14688$。
• 另一组顶点为 $A_1=(1,0,0,0)$，$A_2=(1,\frac{√{3}}{8},\frac{1}{8},\frac{1}{40})$，$A_3=(1,\frac{1}{8},\frac{√{3}}{8},-\frac{1}{40})$，$A_4=(1,-\frac{3}{20},-\frac{3}{20},\frac{3}{10})$ 的四面体，其外接球半径约为 $r \approx 0.36332$。