[论文解读] Bishop and Laplacian comparison theorems on Sasakian manifolds

Paul W. Y. Lee, Chengbo Li|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文建立了带有Sasakian流形上自然结构的子黎曼流形的Bishop和Laplacian比较定理。通过分析Tanaka-Webster曲率并运用典范标架与Jacobi场技术，作者推导出体积和Laplacian比较估计，该结果推广了先前在3维情形下的结果，且等式成立条件刻画了如Heisenberg群等模型空间的几何特征。

ABSTRACT

We prove a Bishop volume comparison theorem and a Laplacian comparison theorem for a natural sub-Riemannian structure defined on Sasakian manifolds. This generalizes the earlier work for the three dimensional case.

研究动机与目标

• 将3维Sasakian流形上的Bishop与Laplacian比较定理推广至一般的2n+1维Sasakian流形。
• 在Tanaka-Webster曲率张量的特定分量具有下界时，建立体积比较定理。
• 通过Tanaka-Webster曲率的曲率界，推导出子Laplacian的比较估计，推广文献中先前的结果。
• 刻画比较定理中等式成立的情形，明确何时流形在局部上与Heisenberg群或复Hopf纤维丛的几何一致。

提出的方法

• 作者使用[8]中的典范标架构造方法以及[7]中的平行自适应标架形式化方法，以简化Sasakian流形上的曲率计算。
• 通过将黎曼体积形式限制在接触分布D = ker α₀上，定义子黎曼距离与体积。
• 证明依赖于在子黎曼测地线上分析Jacobi场，利用Jacobi曲线在Lagrangian Grassmannian中的曲率。
• 对Tanaka-Webster曲率张量施加关键的曲率条件：涉及Jv与正交向量wᵢ的两个特定二次型非负。
• 通过Hessian比较原理推导Laplacian比较定理，比较函数h(r,z)依赖于曲率界k₁与k₂。
• 比较函数h(r,z)通过三角函数与双曲函数显式构造，具体形式取决于k₁与k₂的符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Tanaka-Webster曲率满足何种曲率条件时，Sasakian流形中子黎曼球的体积不超过Heisenberg群中的对应球体积？
• RQ2 在Sasakian流形的Bishop型体积比较定理中，等式在什么条件下成立？
• RQ3 如何在曲率界条件下，为Sasakian流形上的子Laplacian制定Laplacian比较定理？
• RQ4 支配子黎曼距离函数的子Laplacian的比较函数h(r,z)的精确形式是什么？
• RQ5 Tanaka-Webster曲率的曲率条件如何与Heisenberg群及复Hopf纤维丛等模型空间的几何相关联？

主要发现

• 若Tanaka-Webster曲率满足∑⟨Rm*(wᵢ,v)v,wᵢ⟩ ≥ (2n−2)|v|²且⟨Rm*(Jv,v)v,Jv⟩ ≥ 4|v|⁴，则Sasakian流形中子黎曼球Bₓ(R)的体积被Heisenberg群中对应球的体积上界控制。
• 体积比较中的等式成立当且仅当曲率条件达到饱和：在球内满足⟨Rm*(Jv,v)v,Jv⟩ = 4|v|⁴且∑⟨Rm*(wᵢ,v)v,wᵢ⟩ = (2n−2)|v|²。
• 子黎曼距离函数的子Laplacian Δₕd 被一个依赖于曲率界k₁与k₂的比较函数h(r,z)上界控制，其表达式显式地由三角函数与双曲函数构成。
• 比较函数h(r,z)根据k₁与k₂的符号分段定义，包含√k₁、√k₂、cot、coth、sin、cos、sinh与cosh等项。
• 当k₁ ≥ 0且k₂ ≥ 0时，比较函数包含sin与cos项；当k₁ ≤ 0或k₂ ≤ 0时，使用sinh与cosh，并作适当的符号调整。
• Laplacian比较定理中的等式情形恰好出现在曲率界被饱和时：⟨Rm*(Jv,v)v,Jv⟩ = k₁|v|⁴且∑⟨Rm*(wᵢ,v)v,wᵢ⟩ = (2n−2)k₂|v|²。