[论文解读] Bisimulations for intuitionistic temporal logics

Philippe Balbiani, Joseph Boudou+2 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Mar 14, 2018

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文为直觉主义时态逻辑 ITL^e 引入了双模关系，扩展了 'until' (U) 和 'release' (R) 模态。研究证明，'eventually' (◇) 和 'henceforth' (□) 算子无法通过其他算子相互定义——具体而言，在扩展模型上，◇ 无法从 □ 和 U 定义；在更小的 here-and-there 模型类上，□ 也无法从 U 和 R 定义，使用了新颖的基于双模的可定义性证明。

ABSTRACT

We introduce bisimulations for the logic $ITL^e$ with `next', `until' and `release', an intuitionistic temporal logic based on structures equipped with a partial order used to interpret intuitionistic implication and a monotone function used to interpret the temporal modalities. Our main results are that `eventually', which is definable in terms of `until', cannot be defined in terms of `next' and `henceforth', and similarly that `henceforth', definable in terms of `release', cannot be defined in terms of `next' and `until', even over the smaller class of here-and-there models.

研究动机与目标

• 为包含 'next'、'until' 和 'release' 模态的直觉主义时态逻辑 ITL^e 开发双模理论。
• 研究时态算子的可定义性——特别是 ◇ 和 □ 是否能用其他算子定义。
• 通过双模不变性证明非可定义性结果，阐明 ITL^e 的表达能力限制。
• 将先前关于 ITL^e 可判定性的研究扩展至探讨模态之间的定义独立性。

提出的方法

• 为 ITL^e 模型引入一类新的双模关系，保持涉及 'next'、'until'、'release'、'eventually' 和 'henceforth' 模态的公式的不变性。
• 定义有界 □-双模和 U/R-双模，以分析模型变换下的不变性。
• 构造特定反例模型（如有限扩展模型和 here-and-there 模型）以证明非可定义性。
• 利用逻辑等价性和双模下的真值保持性，证明某些公式无法在子语言中表达。
• 利用双模点满足相同公式的事实，证明在受限语言中不存在任何公式能捕捉 ◇ 或 □。
• 将结果应用于证明：在扩展模型上，◇ 无法从 □ 和 U 定义；在 here-and-there 模型上，□ 也无法从 U 和 R 定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩展模型类上，'eventually' 算子 ◇ 能否用 'henceforth' □ 和 'until' U 定义？
• RQ2 在 here-and-there 模型类上，'henceforth' 算子 □ 能否用 'until' U 和 'release' R 定义？
• RQ3 在 ITL^e 中，◇、□、U 和 R 模态是否相互可定义，还是存在严格的定义依赖关系？
• RQ4 是否存在直觉主义时态逻辑中时态算子可定义性的双模不变性刻画？
• RQ5 ITL^e 的子语言表达能力如何，特别是与一阶直觉主义逻辑的关系如何？

主要发现

• 通过有界 □-双模论证表明，在有限扩展模型类上，'eventually' 算子 ◇ 无法用 □ 和 U 定义。
• 通过 U/R-双模证明，在更小的 here-and-there 模型类上，'henceforth' 算子 □ 也无法用 U 和 R 定义。
• 在扩展模型上，公式 ◇p 与任何语言 ℒ□ 中的公式都不等价，这通过一个模型得到证明：(0,0) 和 (0,1) 是 □-双模的，但在 ◇p 上取值不同。
• 在 here-and-there 模型上，等价式 p U q ≡ (q R (p∨q)) ∧ ◇p 成立，表明 U 可在该类模型中由 R 和 ◇ 定义。
• ITL^e 逻辑若包含 U 和 R，并不具有子语言意义上的表达完备性；◇ 和 □ 无法与其他算子相互定义。
• 研究结果确立了 ◇ 和 □ 之间的严格定义独立性，尽管在经典逻辑中 ◇ ≡ ⊤ U p 且 □ ≡ ⊥ R p，但由于直觉主义中对偶律不成立，这种等价性在直觉主义中不成立。