[论文解读] Bismut Formula for Lions Derivative of Distribution Dependent SDEs and Applications

Panpan Ren, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文利用马尔可夫微积分推导出分布依赖SDE的Lions导数的Bismut型公式，实现了对梯度估计和不同初始分布解之间Wasserstein距离的显式边界估计。关键贡献在于为半群 $P_t f(\mu) = \mathbb{E}[f(X_t^\mu)]$ 的 $L$-导数建立了Bismut公式，即使在退化噪声情况下也成立，克服了缺乏半群结构以及标准公式 $P_t f(\mu) = \int P_t f(x)\mu(dx)$ 失效所带来的挑战。

ABSTRACT

By using Malliavin calculus, Bismut type formulas are established for the Lions derivative of $P_tf(μ):=\mathbb E f(X_t^μ)$, where $t>0,$ $ f $ is a bounded measurable function, and $X_t^μ$ solves a distribution dependent SDE with initial distribution $μ$. As applications, explicit estimates are derived for the Lions derivative and the total variational distance between distributions of solutions with different initial data. Both degenerate and non-degenerate situations are considered. Due to the lack of the semigroup property and the invalidity of the formula $P_tf (μ)= \int P_tf(x)μ(d x)$, essential difficulties are overcome in the study.

研究动机与目标

• 推导与分布依赖SDE相关联的半群的Lions导数的Bismut型公式，其中转移期望 $P_t f(\mu) = \mathbb{E}[f(X_t^\mu)]$ 依赖于初始分布 $\mu$。
• 克服半群性质的缺失以及公式 $P_t f(\mu) = \int P_t f(x)\mu(dx)$ 无效的问题，这些使得标准方法变得复杂。
• 为Lions导数和从不同初始测度出发的解的分布之间的总变差距离提供显式估计。
• 将Bismut公式技术扩展至分布依赖SDE中的退化与非退化扩散系数。

提出的方法

• 利用马尔可夫微积分推导出 $P_t f(\mu)$ 的Lions导数的Bismut型公式，借助测度依赖过程的功能Itô微积分框架。
• 通过Wiener空间上的分部积分公式应用Bismut-Elworthy-Li公式，适应至 $L$-导数设置。
• 通过 $\mu^\phi = \mu \circ (\text{Id} + \phi)^{-1}$ 对初始律进行扰动，并利用解流的导数研究方向导数 $D_\phi^L P_T f(\mu)$。
• 建立一个涉及导数算子伴随的关键词恒等式：$D_\phi^L P_T f(\mu) = \mathbb{E}[\langle \nabla f(X_T), \nabla_{\phi(X_0)} X_T \rangle] = \mathbb{E}[f(X_T) D^*(h)]$，其中 $D^*(h)$ 是过程 $h$ 的Skorohod积分。
• 通过证明 $\mathbb{E}|D^*(h^{\alpha^{\phi,s}}) - D^*(h)|^2 \to 0$ 在 $\varepsilon \to 0$ 极限下成立，并利用条件期望控制差值 $f(X_T^{\phi,s}) - f(X_T)$，证明导数公式的收敛性。
• 通过结合分部积分恒等式与极限论证，推导出主Bismut公式（2.16），证明了对于有界可测函数 $f$，$P_T f$ 的 $L$-可微性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为与分布依赖SDE相关的半群 $P_t f(\mu)$ 的Lions导数建立Bismut型公式？
• RQ2 当半群性质不成立时，如何为 $L$-导数推导梯度估计与正则性性质？
• RQ3 对于从不同初始分布出发的解，$L$-导数和Wasserstein距离的显式边界是什么？
• RQ4 如何将马尔可夫微积分适配于处理分布依赖SDE的非马尔可夫性和非半群结构？

主要发现

• 为 $P_t f(\mu)$ 的Lions导数建立了Bismut型公式，表达式为 $D_\phi^L P_T f(\mu) = \mathbb{E}[\langle \nabla f(X_T), \nabla_{\phi(X_0)} X_T \rangle]$，对有界可测函数 $f$ 成立。
• 该公式通过涉及Skorohod积分 $D^*(h)$ 的分部积分恒等式推导得出，其中 $h$ 由流的导数构造而成。
• 证明了 $P_T f$ 对 $f \in \mathscr{B}_b(\mathbb{R}^{m+d})$ 的 $L$-可微性，将先前结果推广至一般有界函数。
• 通过不等式 $\|D^L P_T f(\mu)\| \leq \sup_{\mu(|\phi|^2) \leq 1} \mathbb{E}[|D^*(h^\alpha)|]$ 获得 $L$-导数范数的显式估计，且 $D^*(h^\alpha) \in L^p(\mathbb{P})$ 对所有 $p \in (1,\infty)$ 成立。
• 利用推导出的梯度边界与 $L$-导数结构，对从不同初始测度出发的解之间的总变差距离进行了估计。
• 该方法成功处理了退化与非退化扩散系数，克服了缺乏半群结构以及标准恒等式 $P_t f(\mu) = \int P_t f(x)\mu(dx)$ 失效的问题。