[论文解读] Bivariant Hopf cyclic cohomology

Atabey Kaygun, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|Jun 14, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文引入了针对双代数 $H$ 上的 $H$-模代数与 $H$-模余代数的双变量 Hopf 循环上同调与双变量等变循环上同调，将 Connes 的循环范畴推广至 $H$-等变设定。该理论表明，这些理论推广了 Hopf 循环上同调及其对偶理论，证明了 Morita 不变量性，并通过外部乘积构造出周期性 $S$-算子，从而在一个统一框架中结合了循环（上）同调与 $H$-模（上）同调。

ABSTRACT

For module algebras and module coalgebras over an arbitrary bialgebra, we define two types of bivariant cyclic cohomology groups called bivariant Hopf cyclic cohomology and bivariant equivariant cyclic cohomology. These groups are defined through an extension of Connes' cyclic category $Λ$. We show that, in the case of module coalgebras, bivariant Hopf cyclic cohomology specializes to Hopf cyclic cohomology of Connes and Moscovici and its dual version by fixing either one of the variables as the ground field. We also prove an appropriate version of Morita invariance for both of these theories.

研究动机与目标

• 为 $H$-模代数与余代数发展 Hopf 循环上同调的双变量扩展，推广 Connes-Moscovici 理论。
• 通过 $H$-等变推广循环范畴 $\Lambda$，将循环（上）同调与 $H$-模（上）同调统一于单一框架。
• 为两种双变量理论建立 Morita 不变量性，证明在 $H$-等变 Morita 等价下，模余代数的上同调保持不变。
• 定义周期性 $S$-算子与外部乘积结构，表明 $HC^*_H(k,k;k,k)$ 作用于所有双变量上同调群。

提出的方法

• 通过从双代数 $H$ 构造的大代数 $\mathcal{P}(H)$，定义 $H$-等变循环模及其变体，将 Connes 的循环范畴 $\Lambda$ 推广至 $H$-等变设定。
• 在 $H$-等变（上）循环模范畴中，将双变量上同调群定义为 $\mathrm{Ext}$ 群，并利用循环范畴的 $H$-等变结构。
• 对于模余代数，通过 $C$ 的 $k$-线性对偶定义其对偶 $H$-模代数 $C^*$，并证明 $C^*$ 作为 $H$-模代数同构于 $\mathrm{Hom}_C(C,C)^{\mathrm{op}}$。
• 使用谱序列将双变量等变上同调与普通 Hopf 循环上同调关联，其中 Hopf 循环上同调出现在 $E_2$-项。
• 通过外部乘积建立 $HC^*_H(k,k;k,k)$ 与 $HC^*_{\rm Hopf}(k,k;k,k)$ 对所有双变量上同调模的分次作用。
• 通过证明 $H$-等变等价的模余代数范畴 $\mathbf{proj}_H\text{--}C$ 与 $\mathbf{proj}_H\text{--}C'$ 蕴含其 Hopf 与等变循环（上）同调的同构，从而证明 Morita 不变量性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $H$-等变推广循环范畴 $\Lambda$，将 Hopf 循环上同调推广至 $H$-模代数与余代数的双变量理论？
• RQ2 新双变量理论与 Connes 与 Moscovici 的原始 Hopf 循环上同调及其对偶之间有何关系？
• RQ3 循环上同调中的 $S$-算子与周期性能否推广至双变量 $H$-等变设定？它们如何作用于上同调群？
• RQ4 这些双变量理论在多大程度上满足 Morita 不变量性？这与模余代数的 $H$-等变结构有何关联？
• RQ5 双变量理论如何在一个统一框架中结合循环（上）同调与 $H$-模（上）同调？

主要发现

• 当 $C = k$ 且 $M = k$ 时，$H$-模余代数的双变量 Hopf 循环上同调 $HC^*_{\rm Hopf}(C,C';M,M')$ 退化为标准 Hopf 循环上同调；当 $C' = k$ 且 $M' = k$ 时，退化为对偶理论，确认与已知构造的一致性。
• 双变量等变上同调 $HC^*_H(C,C';M,M')$ 适合于谱序列，其 $E_2$-项为普通 Hopf 循环上同调，表明其为自然推广。
• $HC^*_{\rm Hopf}(k,k;k,k)$ 通过外部乘积作用于所有双变量 Hopf 循环上同调模，且该作用由 $S$-算子生成，推广了 Connes 的周期性。
• $HC^*_H(k,k;k,k)$ 同构于 $\mathrm{Ext}^*_H(k,k)$ 与 $S$-算子代数的分次 $k$-代数扩张，通过分次 $k$-代数谱序列实现。
• Morita 不变量性对模余代数成立：若 $\mathbf{proj}_H\text{--}C$ 与 $\mathbf{proj}_H\text{--}C'$ 为 $H$-等变等价，则 $C^*$ 与 $C'^*$ 的 Hopf 与等变循环（上）同调同构。
• $H$-模余代数 $C$ 的 $k$-线性对偶 $C^*$ 作为 $H$-模代数同构于 $\mathrm{Hom}_C(C,C)^{\mathrm{op}}$，为该理论中余代数与代数之间的关键对偶联系提供了支持。