[论文解读] Bivariant $K$-theory and the Weyl algebra

Joachim Cuntz|ArXiv.org|Jan 22, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文引入了一种新的双变量 $K$-理论 $kk^{ m alg}$，用于局部凸代数（包括外尔代数），其方法基于非交换稳定同伦理论与扩张的分类映射。关键结果是外尔代数 $W$ 在 $kk^{ m alg}$ 中同构于 $ℂ$，这意味着其不变量由系数环 $R = kk^{ m alg}(ℂ,ℂ)$ 决定，该理论在矩阵代数和 $C^*$-代数同构方面具有应用价值。

ABSTRACT

We introduce a new version $kk^{ m alg}$ of bivariant $K$-theory that is defined on the category of all locally convex algebras. A motivating example is the Weyl algebra $W$, i.e. the algebra generated by two elements satisfying the Heisenberg commutation relation, with the fine locally convex topology. We determine its $kk^{ m alg}$-invariants using a natural extension for $W$. Using similar methods the $kk^{ m alg}$-invariants can be determined for many other algebras of similar type.

研究动机与目标

• 为所有局部凸代数的范畴发展一种双变量 $K$-理论 $kk^{\rm alg}$，其范围超越次乘性半范数的限制。
• 为计算无法通过次乘性半范数拓扑化的代数（如外尔代数）的 $kk^{\rm alg}$-不变量提供一个框架。
• 建立从 $kk^{\rm alg}(A,B)$ 到周期循环同调 $HP_*(A,B)$ 的陈-康内斯示性类，连接 $K$-理论不变量与同调不变量。
• 证明 $kk^{\rm alg}(W, W) \cong R$，且 $W$ 在 $kk^{\rm alg}$ 中同构于 $\mathbb{C}$，方法是利用外尔代数的自然扩张。
• 将 $kk^{\rm alg}$ 与经典 $kk$-理论进行比较，表明尽管 $kk^{\rm alg}$ 失去了对系数的控制，但对某些代数仍保有强大的计算能力。

提出的方法

• 通过两个变量的悬垂的归纳极限定义 $kk^{\rm alg}$，作为非交换稳定同伦理论，取代逆博特定理。
• 利用更长扩张的分类映射构建该理论，灵感来自托姆的论文及三角范畴的形式化。
• 为外尔代数 $W$ 构造一个自然扩张 $0 \to I \to W' \to W \to 0$，该扩张是线性分裂的，并可完成为 $0 \to \bar{I} \to \bar{W}' \to W \to 0$，其中 $\bar{I}$ 是一个 $m$-代数。
• 对完成后的扩张应用 $kk$、$kk^{\rm alg}$ 和 $HP_*$ 中的长正合列，通过交换图比较不变量。
• 利用陈-康内斯示性类将 $kk^{\rm alg}$ 与周期循环同调关联，注意到 $R = kk^{\rm alg}(\mathbb{C},\mathbb{C})$ 是一个单位元环，映射到 $ℂ$，且后文证明 $R = \mathbb{Z}$。
• 利用 $kk^\text{alg}_*(\mathbb{C}, \bar{W}') = HP_*(\mathbb{C}, \bar{W}') = 0$ 与 $kk_1(\mathbb{C}, \bar{I}) = \mathbb{Z}$ 的事实，推导出 $kk_0(\mathbb{C}, W) \cong \mathbb{Z}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有局部凸代数（包括无法赋予次乘性半范数的代数）定义双变量 $K$-理论？
• RQ2 外尔代数 $W$ 的 $kk^{\rm alg}$-不变量是什么？它与 $ℂ$ 的关系如何？
• RQ3 $kk^{\rm alg}$-理论如何与周期循环同调及经典 $kk$-理论关联？
• RQ4 能否利用 $kk^{\rm alg}$ 检测矩阵代数之间的非同构性，如 $M_k(W) \not\cong M_l(W)$ 对 $k \neq l$？
• RQ5 从 $kk^{\rm alg}$ 可导出哪些关于 $C^*$-代数张量积 $W \hat{\otimes} \mathcal{O}_n$ 的微分同伦不变量？

主要发现

• 外尔代数 $W$ 在范畴 $kk^{\rm alg}$ 中同构于 $\mathbb{C}$，即对所有 $A$ 有 $kk^{\rm alg}(A, W) \cong kk^{\rm alg}(A, \mathbb{C})$。
• 系数环 $R = kk^{ m alg}(\mathbb{C}, \mathbb{C})$ 同构于 $\mathbb{Z}$（后文已证明），确保 $kk^{ m alg}(A,B)$ 是 $\mathbb{Z}$-模。
• 当 $D = \mathbb{C}$ 时，$kk^\text{alg}$ 中的长正合列表明 $kk^\text{alg}_0(\mathbb{C}, W) \cong \mathbb{Z}$，其中 $\mathbb{Z}$-分量源于单位映射 $\mathbb{C} \to W$。
• $kk_0(\mathbb{C}, \mathbb{C}) \to kk_0(\mathbb{C}, W)$ 的映射是单射，且将 $1 \in \mathbb{Z}$ 映射到 $W$ 中单位的像，从而确认了 $\mathbb{Z}$-分量的存在。
• 证明了当 $k \neq l$ 时有 $M_k(W) \not\cong M_l(W)$，且任意同态 $\varphi: M_k(\mathbb{C}) \to \mathcal{K} \hat{\otimes} W$ 仅当 $l$ 是 $k$ 的倍数时，才能将单位映射到 $M_l(W)$ 中的单位，此结论基于微分同伦不变量。
• 对于 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_n$，$W \hat{\otimes} \mathcal{O}_n \cong W \hat{\otimes} \mathcal{O}_m$ 当且仅当 $n = m$，因为 $kk_1(\mathbb{C}, \bar{I} \hat{\otimes} \mathcal{O}_n) = \mathbb{Z}$ 暗示 $n = m$。