[论文解读] Bivariate Exponentiated Generalized Linear Exponential Distribution with Applications in Reliability Analysis

Mohamed Ibrahim, Mohamed S. Eliwa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Marshall-Olkin冲击模型的二元指数广义线性指数分布（BEGLED），可灵活建模可靠性分析中正相关的寿命数据。该分布对真实数据的拟合优于现有二元模型，具有闭式联合与边缘分布，并通过模拟和真实数据分析得到验证。

ABSTRACT

The aim of this paper, is to define a bivariate exponentiated generalized linear exponential distribution based on Marshall-Olkin shock model. Statistical and reliability properties of this distribution are discussed. This includes quantiles, moments, stress-strength reliability, joint reliability function, joint reversed (hazard) rates functions and joint mean waiting time function. Moreover, the hazard rate, the availability and the mean residual lifetime functions for a parallel system, are established. One data set is analyzed, and it is observed that, the proposed distribution provides a better fit than Marshall-Olkin bivariate exponential, bivariate generalized exponential and bivariate generalized linear failure rate distributions. Simulation studies are presented to estimate both the relative absolute bias, and the relative mean square error for the distribution parameters based on complete data.

研究动机与目标

• 开发一种灵活的二元分布，用于建模可靠性工程中的依赖寿命数据。
• 基于Marshall-Olkin冲击模型，将单变量指数广义线性指数分布（EGLED）扩展为二元形式。
• 推导并分析关键统计与可靠性特性，包括联合密度、风险率和平均等待时间函数。
• 通过模拟研究和真实数据拟合评估最大似然估计量的性能。
• 展示BEGLED相较于Marshall-Olkin二元指数分布、二元广义指数分布和二元广义线性失效率分布的优越拟合效果。

提出的方法

• 基于Marshall-Olkin冲击模型，利用三个独立的EGLED分布随机变量 $U_1, U_2, U_3$ 构建二元分布，其中 $X_k = \text{max}(U_k, U_3)$，$k=1,2$。
• 针对 $x_1 < x_2$、$x_2 < x_1$ 和 $x_1 = x_2$ 三种情况，以分段形式推导联合累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。
• 将 $X_1$ 和 $X_2$ 的边缘分布表示为参数为 $\theta_i + \theta_3$ 的EGLED，确保模型的灵活性。
• 建立关键可靠性函数：联合逆（风险）率、联合平均等待时间、应力-强度可靠性，以及并联系统的系统可用性与平均残余寿命。
• 使用最大似然估计（MLE）估计六个参数：$\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta, \theta, \theta$（更正为 $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta, \theta$），其中 $\theta$ 表示形状与尺度参数。
• 开展模拟研究，计算不同样本量（$n = 30, 50, 100, 200$）下参数估计的相对绝对偏差与相对均方误差（MSE）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于Marshall-Olkin冲击模型，构建指数广义线性指数分布的二元扩展，以建模依赖寿命？
• RQ2 在所提出的BEGLED中，联合与边缘可靠性函数（如联合风险率与平均等待时间）的行为如何？
• RQ3 BEGLED是否在统计拟合上优于现有二元模型，如Marshall-Olkin二元指数分布、二元广义指数分布和二元广义线性失效率分布？
• RQ4 随着样本量增加，BEGLED六个参数的MLE估计的偏差与均方误差如何变化？
• RQ5 与竞争模型相比，BEGLED在拟合真实多变量寿命数据方面的表现如何？

主要发现

• 与Marshall-Olkin二元指数分布、二元广义指数分布和二元广义线性失效率分布相比，BEGLED对真实数据集提供了更优的拟合效果。
• 所有参数的MLE估计的相对绝对偏差和相对均方误差（MSE）随样本量增加而减小，例如当 $\theta_1=0.5$ 时，偏差从 $n=30$ 时的 0.146 降至 $n=200$ 时的 0.023。
• 对于 $\theta_1=0.5$，相对MSE从 $n=30$ 时的 0.099 降至 $n=200$ 时的 0.012，表明样本量越大，估计精度越高。
• 随着样本量增加，参数的95%置信区间变窄，例如当 $\theta_1=0.5$ 时，置信区间从 $n=30$ 时的 (0.2091, 1.3758) 缩小至 $n=100$ 时的 (0.2977, 0.9242)，表明估计准确性提高。
• 联合CDF与PDF具有闭式表达，可直接用于正相关非负随机变量的可靠性建模。
• 推导出中位数相关系数 $M_{X_1,X_2}$，可用于生成二元数据，支持模拟与模型验证。