[论文解读] Bivariate log-convexity of the more extended means and its applications

Zhen-Hang Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文研究了双参数齐次函数的双变量对数凸性，并将其应用于推导扩展均值（包括Stolarsky、Gini、双参数对数几何均值和Heronian均值）的对数凸性与对数凹性性质。主要贡献在于证明了这些均值在参数对上关于$[0, \infty)^2$是双变量对数凹的，关于$(-\infty, 0]^2$是对数凸的，从而导出了均值的新不等式与经典不等式。

ABSTRACT

In this paper, the bivariate log-convexity of the two-parameter homogeneous function in parameter pair is vestigated. From this the bivariate log-convexity of the more extended means with respect to a parameter pair is solved. It follows that Stolarsky means, Gini means, two-parameter identric (exponential) means and two-parameter Heronian means are all bivariate log-concave on $\mathbb{[}0\mathbb{,\infty )}^{2}$ and log-convex on $% \mathbb{(-\infty ,}0\mathbb{]}^{2}$ with respect to parameters. Lastly, some classical and new inequalities for means are given.

研究动机与目标

• 研究双参数齐次函数在参数对上的双变量对数凸性。
• 建立更广义均值（如Stolarsky、Gini、对数几何均值、Heronian均值）关于其参数的对数凸性与对数凹性性质。
• 利用对数凸性框架推导均值的新不等式与经典不等式。
• 通过四参数齐次均值结构统一并推广已知的均值不等式。
• 提供一种基于凸性估计均值比值的系统方法。

提出的方法

• 将四参数齐次均值$\boldsymbol{F}(p,q;r,s;a,b)$定义为Stolarsky与Gini均值的推广，使用对数均值与对数几何均值。
• 通过分析函数$L(p,q)$（即$p$与$q$的对数均值）建立双参数齐次函数$\mathcal{H}_f(p,q;a,b)$的双变量对数凸性。
• 将对数凸性结果应用于推导涉及均值的加权几何均值的不等式。
• 利用恒等式$\mathcal{H}_D(p,q;a,b) = e^{1/L(p,q)} S_{p,q}(a,b)$将Stolarsky均值与齐次函数$\mathcal{H}_D$联系起来。
• 通过结合对数凸性与指数和对数变换，推导出均值比值的双重不等式。
• 将结果应用于通过代入特定参数值从一般界系统生成新不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双参数齐次函数$\mathcal{H}_f(p,q;a,b)$在$(p,q)$上是双变量对数凸的？
• RQ2 这些函数$\mathcal{H}_f$的对数凸性性质如何推广至Stolarsky、Gini、对数几何与Heronian均值等特定均值族？
• RQ3 从这些均值关于其参数的双变量对数凸性中可推导出哪些不等式？
• RQ4 所推导的不等式与已知的经典不等式（如Stolarsky-Yang与Sándor-Yang）相比如何？
• RQ5 能否从参数对凸性的通用框架中系统地生成新不等式？

主要发现

• Stolarsky、Gini、双参数对数几何与双参数Heronian均值在$[0, \infty)^2$上关于其参数是双变量对数凹的，在$(-\infty, 0]^2$上是对数凸的。
• 对所有$a,b > 0$及满足$\alpha + \beta = 1$的$\alpha, \beta > 0$，不等式$1 \leq \frac{S_{\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2}(a,b)}{S_{p_1,q_1}^\alpha(a,b) S_{p_2,q_2}^\beta(a,b)} \leq \exp\left(\frac{\alpha}{L(p_1,q_1)} + \frac{\beta}{L(p_2,q_2)} - \frac{1}{L(\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2)}\right)$成立。
• 对Gini均值也存在类似双重不等式：$1 \leq \frac{G_{\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2}(a,b)}{G_{p_1,q_1}^\alpha(a,b) G_{p_2,q_2}^\beta(a,b)} \leq \exp\left(\frac{\alpha}{L(p_1,q_1)} + \frac{\beta}{L(p_2,q_2)} - \frac{1}{L(\alpha p_1 + \beta p_2, \alpha q_1 + \beta q_2)}\right)$。
• 应用4.3导出了Stolarsky-Yang不等式：$1 \leq I/A_{2/3} \leq \sqrt{8}e^{-1} \approx 1.0405$。
• 应用4.4生成了新不等式，如$16\sqrt{2}e^{-1}/9 \approx 0.9249 \leq I/A_{2/3}^3 He^{-2} \leq 1$。
• 另一项新结果为$1 \leq I/\sqrt{I_{6/5} I_{4/5}} \leq e^{1/24} \approx 1.0425$，对幂指数均值$Z$亦有类似结论。