[论文解读] Bivariate representation and conjugacy class zeta functions associated to unipotent group schemes

de Araujo, Paula Macedo Lins|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文引入了双变量 zeta 函数，用于编码在数域整数环上无根群概形的同余商中有限维不可约复表示的同构类数与共轭类数。该文建立了几乎所有局部因子的欧拉分解、有理性和函数方程，对幂零类为二的群给出了显式公式，并通过有限超八面体群给出了联合分布公式。

ABSTRACT

We introduce two bivariate zeta functions associated to unipotent group schemes over rings of integers of number fields. These zeta functions encode, respectively, the numbers of isomorphism classes of irreducible complex representations of finite dimensions and the numbers of conjugacy classes of congruence quotients of the associated groups. Our bivariate zeta functions specialise to (univariate) class number zeta functions associated to the relevant groups. In case of nilpotency class two, bivariate representation zeta functions also specialise to (univariate) twist representation zeta functions. We show that these zeta functions satisfy Euler factorisations and almost all of their Euler factors satisfy rationality and functional equations. We give explicit formulae for the bivariate zeta functions of some families of nilpotent groups of class two. The local bivariate representation zeta functions of these groups are also expressed in terms of sums over finite hyperoctahedral groups, which provides formulae for joint distributions of three statistics on such groups.

研究动机与目标

• 定义双变量 zeta 函数，以编码无根群概形的同余商中不可约表示的计数与共轭类的计数。
• 将单变量类数与扭表示 zeta 函数推广至双变量设置。
• 建立这些 zeta 函数的局部因子的欧拉分解与有理性性质。
• 在幂零类为二的情况下，推导出 zeta 函数的显式公式。
• 通过有限超八面体群的和表达局部表示 zeta 函数，从而得到三个统计量的联合分布公式。

提出的方法

• 定义两个双变量 zeta 函数：一个用于有限无根群概形商中不可约表示的计数，另一个用于共轭类的计数。
• 在特定情况下，将双变量函数特化为单变量类数与扭表示 zeta 函数。
• 证明 zeta 函数在数域整数环上具有欧拉分解。
• 证明几乎所有局部欧拉因子满足有理性和函数方程。
• 将局部双变量表示 zeta 函数表示为有限超八面体群上的和。
• 利用这些群论和，推导出类为二的幂零群族的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造双变量 zeta 函数，以同时编码无根群概形的表示与共轭类数据？
• RQ2 这些 zeta 函数的局部因子是否满足欧拉分解与有理性性质？
• RQ3 双变量 zeta 函数在何种方式下特化为已知的单变量 zeta 函数，如类数与扭表示 zeta 函数？
• RQ4 局部表示 zeta 函数能否以类似对称群的结构（如有限超八面体群）表示？
• RQ5 从 zeta 函数表达式中，有限超八面体群上三个统计量的联合分布性质如何体现？

主要发现

• 双变量 zeta 函数在数域整数环上具有欧拉分解。
• 几乎所有 zeta 函数的局部欧拉因子均满足有理性和函数方程。
• 对于类为二的幂零群，双变量表示 zeta 函数特化为单变量扭表示 zeta 函数。
• 为类为二的幂零群族的双变量 zeta 函数推导出了显式公式。
• 局部双变量表示 zeta 函数被表示为有限超八面体群上的和，从而得到了这些群上三个统计量的联合分布公式。
• zeta 函数提供了一个统一框架，将表示理论、共轭类计数与无根群概形中的群论统计联系起来。