[论文解读] Black and gray spatial optical solitons with Kerr type nonlocal nonlinearity

Shigen Ouyang, Qi Guo|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2008

Nonlinear Photonic Systems参考文献 27被引用 31

一句话总结

本文提出一种广义谱重正化方法，用于数值计算克尔型非局域非线性介质中的黑孤子与灰孤子，重点研究指数衰减和高斯非局域响应函数。关键贡献在于非局域灰孤子尾部行为的解析推导，以及最大横向速度对特征非局域长度的临界依赖关系：在临界长度以下速度恒定，以上则随长度增加而减小。

ABSTRACT

We develop one numerical method to compute black and gray solitons with Kerr-type nonlocal nonlinearity. As two examples of nonlocal cases, the gray soliton with exponentially decaying nonlocal response or with Gaussian nonlocal response are discussed. For such two nonlocal cases, the analytical form of the tails of nonlocal gray soliton is presented and the analytical relationship for the maximal transverse velocity of nonlocal gray soliton to the characteristic nonlocal length is obtained.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的数值方法，用于计算非局域非线性光学介质中的黑孤子与灰孤子。
• 分析非局域响应函数（指数与高斯）对孤子结构与动力学的影响。
• 推导非局域灰孤子尾部的解析表达式。
• 建立非局域灰孤子最大横向速度与特征非局域长度之间的关系。
• 解决先前研究中关于孤子最大速度随非局域性变化的单调性争议。

提出的方法

• 提出一种广义谱重正化方法，用于求解非局域非线性薛定谔方程（NNLSE）的灰孤子与黑孤子解。
• 该方法将NNLSE转化为关于振幅ψ(x)与相位φ(x)的方程组，采用ansatz形式u(x,z) = ψ(x)ei(βz + φ(x))，并通过ψ²φ′ = const强制相位连续性。
• 应用离散傅里叶变换（DFT）处理控制方程中的空间导数与非局域积分。
• 采用固定点迭代格式，利用幅度扰动χ(x) = η − ψ(x)的投影方程，其中λ与θ为迭代变量。
• 对于高斯非局域响应，通过线性化方程的渐近分析，推导出解析的尾部形式，结果取决于参数而呈现指数衰减或振荡衰减。
• 通过计算指数与高斯非局域性下的孤子剖面与速度极限，验证了该方法的有效性，残差范数用于监控收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征非局域长度如何影响非局域灰孤子的最大横向速度？
• RQ2 非局域灰孤子的尾部在指数与高斯非局域响应函数下具有何种解析形式？
• RQ3 非局域灰孤子的最大横向速度是否如先前所声称的那样随非局域长度增加而单调递减？
• RQ4 在何种条件下，非局域灰孤子表现出指数衰减尾部或指数衰减振荡尾部？
• RQ5 非局域性轮廓如何影响黑孤子解的存在性与稳定性？

主要发现

• 非局域灰孤子可表现出指数衰减尾部或指数衰减振荡尾部，具体取决于非局域长度与孤子速度。
• 对于高斯非局域响应，当特征非局域长度w < 1/η时，最大横向速度为常数η，与局域孤子速度一致。
• 当w > 1/η时，最大横向速度随w增加而减小，其表达式为√(1 + ln(η²w²))/w。
• 当1/√e η < w < 1/η时，孤子可具有任一类型的尾部，具体取决于速度µ，临界过渡点位于µ = √(1 + ln(η²w²))/w。
• 通过线性化方程的渐近解，推导出高斯非局域性的解析尾部形式，表明其依赖于w、η与µ。
• 该数值方法成功实现了黑孤子与灰孤子解的高精度计算，验证了关于速度与尾部行为的解析预测。