[论文解读] Black box groups isomorphic to ${ m PGL}(2,2^e)$

William M. Kantor, Martin Kassabov|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种确定性多项式时间算法，通过使用对合生成公式和域恢复技术，构造了一个与 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 同构的黑箱群与抽象群 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 之间的显式同构。关键贡献在于一个运行时间为 $O(\mu e^3 \log e)$ 的黑箱识别算法，并实现了群元素的高效直线程序生成。

ABSTRACT

A deterministic polynomial-time algorithm constructs an isomorphism between ${ m PGL}(2,2^e)$ and a black box group to which it is isomorphic.

研究动机与目标

• 开发一种用于识别同构于 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 的黑箱群的确定性多项式时间算法。
• 在这样的黑箱群与抽象的 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 群之间构造有效的同构。
• 克服在偶特征黑箱群中缺乏确定性对合生成方法的长期障碍。
• 通过新生成元实现对任意群元素的高效直线程序计算。

提出的方法

• 利用一个新颖的对合生成公式（命题4），在同构于 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 的黑箱群中确定性地生成对合。
• 利用该对合构造一个 Borel 子群，并在黑箱群内部恢复一个域 $\mathfrak{F} \cong \mathbb{F}_{2^e}$。
• 应用命题9，通过利用从群运算中导出的域元素平方根的有理表达式来恢复矩阵元素。
• 使用直线程序（SLPs）高效计算群元素的像与原像。
• 通过最小多项式计算定义抽象群表示中的域 $\mathbb{F}_{2^e} = \mathbb{F}_2[s]$。
• 依赖于共轭作用和迹恒等式等群论性质，从群元素重构矩阵元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性多项式时间算法，构造黑箱群与 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 之间的同构？
• RQ2 是否可能在不依赖离散对数或概率方法的前提下，于同构于 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 的黑箱群中生成对合？
• RQ3 能否从黑箱内的群运算中有效恢复域 $\mathbb{F}_{2^e}$？
• RQ4 在该类群中生成任意元素的直线程序的计算复杂度是多少？
• RQ5 能否仅通过群运算和域算术从群元素重构矩阵元素？

主要发现

• 该算法在 $O(\mu e^3 \log e)$ 时间内构造同构，其中 $\mu$ 为每次群运算的时间。
• 生成了黑箱群与抽象 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 的三元生成集，并建立了它们之间的有效同构。
• 可在线性时间 $O(e)$ 长度的直线程序中，以 $O(\mu e^3)$ 时间完成从 ${\rm PGL}(2,2^e)$ 到 $G$ 及其逆方向的计算。
• 域 $\mathbb{F}_{2^e}$ 完全通过群运算和基于对合的构造在黑箱群内部被恢复。
• 任何群元素的矩阵元素可通过涉及从特定群积中导出的域元素平方根的有理表达式进行重构。
• 该算法避免使用离散对数预言机，仅依赖群运算和域算术，因此适用于纯粹的黑箱环境。