[论文解读] Black-Hole Approach to the Singular Problem of Quantum Mechanics. II

A. E. Shabad|ArXiv.org|Mar 17, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文提出一种受黑洞启发的方法，用于处理粒子落入 $ r^{-2} $ 势场的奇异量子力学问题，将原点视为物理的发射/吸收中心。通过将哈密顿量重新定义为具有奇异测度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}} = r^{-2}\mathrm{d}r $ 和 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}} = (R^{-2} + r^{-2})\mathrm{d}r $ 的广义特征值问题，利用两个自伴算符对态进行分类，分为束缚态（局域）和散射态（透射/反射），从而在 Jost 函数的基础上得到一个单位的 $ 2\times2 $ S 矩阵。

ABSTRACT

A new approach is proposed for the quantum mechanical problem of the falling of a particle to a singularly attracting center, basing on a black-hole concept of the latter. The singularity r^{-2} in the potential of the radial Schroedinger equation is considered as an emitting/absorbing center. The two solutions oscillating in the origin are treated as asymptotically free particles, which implies that the singular point r=0 in the Schroedinger equation is treated on the same physical ground as the singular point r=infinity. To make this interpretation possible, it is needed that the norm squared of the wave function should diverge when r tends to zero, in other words, the measure used in definition of scalar products should be singular in the origin. Such measure comes into play if the Schroedinger equation is written in the form of the generalized (Kamke) eigenvalue problem for either of two - chosen differently depending on the sign of the energy E - operators, other than Hamiltonian. The Hilbert spaces where these two operators act are used to classify physical states, which are: i) states of "confinement"- continuum of solutions localized near the origin, E<0 - and ii) the states corresponding to the inelastic process of reflection/transmission, i.e. to transitions in-between states localized near the origin and in the infinitely remote region, E>0. The corresponding unitary 2x2 S-matrix is written in terms of the Jost functions. The complete orthonormal sets of eigen-solutions of the two operators are found using "quantization in a box" (a,b), followed by the transition to the limit a=0, b=infinity. The corresponding expansions of the unity are written.

研究动机与目标

• 解决标准量子力学在描述粒子落入奇异 $ r^{-2} $ 势场时的物理不一致性问题，此时哈密顿量的谱无下界。
• 通过将奇异点 $ r=0 $ 视为类似黑洞的发射/吸收中心，使其在物理上与 $ r=\infty $ 处于同等地位。
• 定义具有奇异测度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}} $ 和 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}} $ 的希尔伯特空间，使得在 $ r=0 $ 处振荡的波函数可被解释为渐近自由粒子。
• 利用两个不同的自伴算符 $ H^{\mathrm{III}} $ 和 $ H^{\mathrm{IV}} $，将物理态分类为束缚态（局域，$ E<0 $）和散射态（透射/反射，$ E>0 $）。
• 通过在盒子中进行量子化并取 $ r_L \to 0 $、$ r_U \to \infty $ 的极限，构造单位的 $ 2\times2 $ S 矩阵，并利用 Jost 函数推导正交归一的本征函数展开。

提出的方法

• 将径向薛定谔方程重新表述为广义特征值问题，使用两个算符：$ H^{\mathrm{III}} = -\frac{d^2}{dr^2} - \frac{1}{4r^2} + V(r) - k^2 $（对应 $ E<0 $），和 $ H^{\mathrm{IV}} = -\frac{d^2}{dr^2} - \frac{1}{4r^2} + V(r) $（对应 $ E>0 $），其中 $ k^2 = E $。
• 引入奇异测度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}}(r) = r^{-2}\mathrm{d}r $ 和 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{IV}}(r) = (R^{-2} + r^{-2})\mathrm{d}r $，以在希尔伯特空间中定义内积，使得在 $ r=0 $ 处振荡的波函数具有有限范数。
• 采用盒子中量子化的方法，边界取 $ r_L \to 0 $ 和 $ r_U \to \infty $，在 $ r_L $ 和 $ r_U $ 处施加零边界条件，以构造正交归一的本征函数集。
• 通过 $ \xi = \mathrm{Im}\lambda \cdot \left( \ln r + \ln R \right) $ 将径向问题转化为 $ \xi $-空间问题，得到在 $ \xi \to \pm\infty $ 处均呈振荡行为的本征函数 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda,R}(\xi) $，从而确保其可解释为自由粒子。
• 利用本征函数 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda_n,R}(\xi) $ 在 $ \xi $-空间中推导单位展开和广义傅里叶级数，其系数由对 $ \widetilde{F}(\xi) $ 的积分给出。
• 从 Jost 函数构造 $ 2\times2 $ S 矩阵，确保其单位性并符合 $ E>0 $ 时的散射过程，并通过 $ \delta_1, \delta_2 $ 和 $ \varepsilon^{(j)} $ 将其与相移关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $ r^{-2} $ 势场中的奇异点 $ r=0 $ 视为类似黑洞的物理发射/吸收中心？
• RQ2 如何调和在 $ r=0 $ 处振荡波函数的范数发散问题与自由粒子解释之间的矛盾？何种测度可实现这一点？
• RQ3 在奇异势场问题中，束缚态（$ E<0 $）和散射态（$ E>0 $）的合适自伴算符表述为何？
• RQ4 如何构造一个单位的 $ 2\times2 $ S 矩阵，以描述局域态与离域态之间的非弹性跃迁？
• RQ5 能否通过盒子正则化方案，在 $ r_L \to 0 $、$ r_U \to \infty $ 的奇异极限下，严格推导出正交归一的本征函数展开？

主要发现

• 奇异测度 $ \mathrm{d}\mu^{\mathrm{III}}(r) = r^{-2}\mathrm{d}r $ 确保在 $ r=0 $ 处振荡的波函数具有有限范数，从而使其可被解释为渐近自由粒子。
• 通过广义特征值问题定义的两个算符 $ H^{\mathrm{III}} $ 和 $ H^{\mathrm{IV}} $，在具有奇异测度的希尔伯特空间中生成自伴算符，避免了标准哈密顿量谱无下界的缺陷。
• 对于 $ E<0 $，谱为离散的，对应于束缚态的局域化；对于 $ E>0 $，谱为连续的，描述具有透射/反射特性的散射态。
• $ \xi $-空间中的本征函数 $ \widetilde{\psi}^{(j)}_{\lambda_n,R}(\xi) $ 是正交归一的，并构成完备基，使得任意 $ L^2 $ 函数 $ \widetilde{F}(\xi) $ 均可通过广义傅里叶级数展开。
• $ 2\times2 $ S 矩阵是单位的，以 Jost 函数表示，其相移由 $ \delta_1, \delta_2 $ 和 $ \varepsilon^{(j)} $ 确定，与量子散射理论一致。
• 本征函数在 $ \xi \to \pm\infty $ 处的渐近行为为振荡，其相移依赖于能量和耦合常数，证实了在 $ r=0 $ 附近态的自由粒子特性。