[论文解读] Black hole as topological insulator (I): the BTZ black hole case

Jingbo Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用 5

一句话总结

本文提出，黑洞，特别是3维反 de Sitter 空间中的 BTZ 黑洞，可被理解为拓扑绝缘体。它展示了两个关键类比：视界表现得像导电膜（膜范式），并支持两种手性相反的无质量标量模——这是二维拓扑绝缘体的特征。与电磁场的耦合证实了边界电导率，表明引力与拓扑序之间存在深层联系。

ABSTRACT

Black holes are extraordinary massive objects which can be described classically by general relativity, and topological insulators are new orders of matter that could be use to built a topological quantum computer. They seem to be different objects, but in this paper, we claim that the black hole can be considered as kind of topological insulator. For BTZ black hole in three dimensional $AdS_3$ spacetime we give two evidences to support this claim: the first evidence comes from the black hole "membrane paradigm", which says that the horizon of black hole behaves like an electrical conductor. On the other hand, the vacuum can be considered as an insulator. The second evidence comes from the fact that the horizon of BTZ black hole can support two chiral massless scalar field with opposite chirality. Those are two key properties of 2D topological insulator. We also consider the coupling with the electromagnetic field to show that the boundary modes can conduct the electricity. For higher dimensional black hole the first evidence is still valid. So we conjecture that the higher dimensional black hole can also be considered as higher dimensional topological insulators. This conjecture will have far-reaching influences on our understanding of quantum black hole and the nature of gravity.

研究动机与目标

• 建立黑洞视界与拓扑绝缘体之间的概念与物理类比，特别是在 2+1 维反 de Sitter 引力中。
• 研究 BTZ 黑洞视界是否表现出二维拓扑绝缘体的典型特征，如手性边缘模和电导率。
• 探讨该类比对量子引力及时空从拓扑序中涌现的启示。
• 基于膜范式与 BF 理论结构的有效性，将类比扩展至高维黑洞。

提出的方法

• 使用引力的首阶形式分析 $AdS_3$ 时空中的 BTZ 黑洞，将爱因斯坦-希尔伯特作用量重写为两个 $SO(2,1)$ 规范理论的 Chern-Simons 作用量之和。
• 应用膜范式，表明黑洞视界表现得像金属导体，具有电导率 $\sigma = 1/g^2$，而体积极真空则表现为绝缘体。
• 通过 Chern-Simons 理论的边界约化得到手性 WZNW 模型，推导出视界上存在两种手性相反的无质量标量场。
• 通过引入电磁场的电流耦合项，表明边界模可支持电流传导，从而表现出导电性。
• 利用规范不变的场重新定义与边界项分析，分离出有效边界作用量，识别出电荷密度场 $\rho$，其与量子霍尔系统中的边缘电荷密度类似。
• 通过引入膜范式及广义相对论可表示为约束 BF 理论的事实，将论证扩展至高维黑洞，暗示其与高维拓扑绝缘体之间存在更广泛的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于其电磁与场论性质，将 BTZ 黑洞视界解释为二维拓扑绝缘体？
• RQ2 BTZ 黑洞视界模是否表现出手性、无质量的边缘态，且手性相反，符合拓扑绝缘体模型的要求？
• RQ3 视界自由度与电磁场的耦合是否导致可测量的电导率，从而证实其导体行为？
• RQ4 尽管缺乏 Chern-Simons 形式化，该类比是否可扩展至高维黑洞？
• RQ5 该类比对引力的涌现及量子黑洞本质有何启示？

主要发现

• BTZ 黑洞视界表现出有限电导率 $\sigma = 1/g^2$，与膜范式一致，且类似于二维拓扑绝缘体的表面电导率。
• 视界支持两种手性相反的无质量标量场，这是二维拓扑绝缘体的标志性特征，源自 Chern-Simons 作用量的边界约化。
• 与电磁场耦合后，有效边界作用量为 $S'_{j} = \frac{1}{2}\int_{r=r_{+}} d^2x (a_v L\rho - a_\varphi \rho)$，证实边界模可承载电流传导。
• 场 $\rho(\tilde{u}) = \partial\Psi_1 / \partial\tilde{u}$ 被识别为电荷密度，类似于量子霍尔效应中的边缘电荷密度。
• 膜范式对视界电导率的预测在高维中依然成立，提示高维黑洞也可能被视为高维拓扑绝缘体。
• BF 理论（用于拓扑绝缘体的有效理论）与约束 BF 理论形式化的引力之间的结构相似性，暗示引力可能是涌现的拓扑相，其体积极可能无局域自由度。