[论文解读] Black Hole Spacetimes on Grids With Trivial Boundaries

P Huebner|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 1998

Black Holes and Theoretical Physics被引用 1

一句话总结

本文提出了一种数值框架，用于使用在具有平凡边界的计算网格上进行共形缩放爱因斯坦方程的渐近平坦黑洞时空模拟。通过将方程重新表述为对称双曲型或通量守恒形式，并在网格边界附近修改方程，该方法实现了稳定且一致的模拟，无需人工内边界，从而能够完整覆盖包括奇点区域在内的黑洞时空。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers describing a numerical implementation of the conformally rescaled Einstein equation, an implementation designed to calculate asymptotically flat spacetimes, especially spacetimes containing black holes. In the present paper we derive the new first order time evolution equations to be used in the scheme. These time evolution equations can either be written in symmetric hyperbolic or in flux-conservative form. Since the conformally rescaled Einstein equation, also called the conformal field equations, formally allow us to place the grid boundaries outside the physical spacetime, we can modify the equations near the grid boundaries and get a consistent and stable discretisation. Even if we calculate spacetimes containing black holes, there is no need for introducing artifical boundaries in the physical spacetime, which then would complicate, influence, or even exclude the computation of certain spacetime regions.

研究动机与目标

• 开发一种用于模拟包含黑洞的渐近平坦时空的数值格式，且无需人工内边界。
• 推导适用于数值实现的共形缩放爱因斯坦方程的一阶时间演化方程。
• 通过在网格边界附近修改方程，确保离散化的稳定性和一致性，同时保持物理行为不变。
• 通过将网格边界置于物理时空之外，实现对黑洞奇点附近时空区域的计算。

提出的方法

• 推导共形缩放爱因斯坦方程在对称双曲型和通量守恒形式下的首阶时间演化方程。
• 采用共形场方程，其形式允许将网格边界置于物理时空域之外。
• 在网格边界附近对方程进行修改，以确保数值离散化的稳定性和一致性。
• 设计该方案以避免在物理时空内部引入人工边界，从而保持黑洞区域的完整性。
• 采用双曲型公式以确保时间演化过程的适定性和数值稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将共形缩放爱因斯坦方程重新表述为稳定的一阶时间演化系统？
• RQ2 是否可以将网格边界置于物理时空之外，而不会损害数值稳定性或精度？
• RQ3 在边界附近对方程进行何种修改可实现一致且稳定的离散化？
• RQ4 是否可能在不引入影响物理区域的人工内边界的情况下模拟黑洞时空？

主要发现

• 推导出的一阶时间演化方程在对称双曲型和通量守恒形式下均适用于数值实现。
• 共形场方程允许将网格边界置于物理时空之外，从而消除了对人工内边界的需求。
• 通过在边界附近修改方程，同时保持内部物理演化的完整性，实现了稳定且一致的离散化。
• 该方法能够在不引入人工边界导致数值复杂性的情况下，模拟黑洞时空，包括奇点附近的区域。