[论文解读] Black holes and modular forms in string theory

Sameer Murthy|arXiv (Cornell University)|May 19, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 8

一句话总结

本论文解释了字符串理论中的黑洞熵如何通过其微观态计数来实现，而这些生成函数是模形式，并且这引发了与虚模形式以及 Hardy-Ramanujan-Rademacher 展开之间的联系。本论文的核心观点是：通过微观态计数可揭示黑洞熵的统计力学性质，并与模性对称性及相关展开式相连接。

ABSTRACT

The study of black holes in string theory has led to the discovery of deep and surprising connections between black holes and modular forms -- which are two classical, a priori unrelated, subjects. This article explains the main physical and mathematical ideas behind these connections. It is known from the pioneering work of J.Bekenstein and S.Hawking in the 1970s that black holes have thermodynamic entropy, and should therefore be made up of a collection of microscopic quantum states. Superstring theory provides a framework wherein we can associate a number of microscopic states that make up the quantum-statistical system underlying a black hole, thus explaining their thermodynamic behavior from a more fundamental point of view. %The above-mentioned connections arise from the observation that, i The basic connection to modular forms arises from the observation that, in the simplest superstring-theoretic construction, the generating function of the number of microscopic states is a modular form. In one direction, modular symmetry acts as a powerful guide to the calculation of quantum-gravitational effects on the black hole entropy. In the other direction, the connection has led to the discovery of surprising relations between Ramanujan's mock modular forms and a class of string-theoretic black holes, thus providing an infinite number of new examples of mock modular forms.

研究动机与目标

• 激发并解释黑洞热力学熵及其在字符串理论中的微观计数。
• 展示模对称性如何支配微观态的计数以及量子引力修正。
• 证明在某些字符串理论黑洞中出现的虚模形式的出现及其意义。

提出的方法

• 回顾 Bekenstein-Hawking 熵及其通过字符串理论中的微观态进行的量子统计解释。
• 描述字符串理论中黑洞的两种图像：宏观（广义相对论）与微观（膜/弦绑定态）。
• 引入超对称指数量（Witten 指数）及其在计数 BPS 态中的作用。
• 将微观简并度与 Dedekind eta 函数、theta 函数等模形式联系起来。
• 应用 Hardy-Ramanujan-Rademacher 型展开来估计简并度并将其与黑洞熵的量子修正联系起来。

Figure 1 : Microscopic and macroscopic pictures of a black hole in string theory

实验结果

研究问题

• RQ1 模对称性如何有助于计算黑洞熵的量子引力修正？
• RQ2 在各种字符串理论紧致化中，黑洞微观态计数与模形式之间的精确关系是什么？
• RQ3 虚模形式是否可由某些字符串理论黑洞产生，它们对微观态计数有何意义？
• RQ4 超对称指数量在多大程度上再现或解释 BPS 黑洞的 Bekenstein-Hawking 熵？

主要发现

• 在简单字符串构造中，微观黑洞态的生成函数是一个模形式，因此与 Bekenstein-Hawking 公式的熵相吻合。
• Hardy-Ramanujan-Rademacher 展开将微观态计数与黑洞熵的量子引力修正联系起来。
• 在某些卡拉比-丘紧致化中，微观简并度由 eta 函数与 theta 函数组合支配，形成模对象，其渐近行为再现 BH 熵。
• BPS 黑洞表现为零温度但具有熵，其微观态计数通过与引力熵在合适的解耦极限下匹配的超对称指数量对齐。
• 研究揭示通过特定字符串理论黑洞与 Ramanujan 的虚模形式之间的联系，扩展了物理学中模对象的数学景观。

Figure 2 : Wall-crossing in supergravity. The vertical line denotes a co-dimension one wall in the parameter space of solutions. On the left side of the wall the only solution is the single black hole. On the right side there is an additional solution which is a bound state of two black holes, which