[论文解读] Blind Compressed Sensing

Sivan Gleichman, Yonina C. Eldar|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 4

一句话总结

本文提出盲压缩感知（BCS），一种在未知稀疏基的前提下从压缩测量中恢复稀疏信号的框架。通过在未知基上施加结构约束——例如属于已知有限基集合或在字典内稀疏——该方法可利用高斯测量矩阵以高概率实现唯一恢复，当信号足够稀疏时，其性能与标准压缩感知相当。

ABSTRACT

The fundamental principle underlying compressed sensing is that a signal, which is sparse under some basis representation, can be recovered from a small number of linear measurements. However, prior knowledge of the sparsity basis is essential for the recovery process. This work introduces the concept of blind compressed sensing, which avoids the need to know the sparsity basis in both the sampling and the recovery process. We suggest three possible constraints on the sparsity basis that can be added to the problem in order to make its solution unique. For each constraint we prove conditions for uniqueness, and suggest a simple method to retrieve the solution. Under the uniqueness conditions, and as long as the signals are sparse enough, we demonstrate through simulations that without knowing the sparsity basis our methods can achieve results similar to those of standard compressed sensing, which relay on prior knowledge of the sparsity basis. This offers a general sampling and reconstruction system that fits all sparse signals, regardless of the sparsity basis, under the conditions and constraints presented in this work.

研究动机与目标

• 解决压缩感知中因缺乏稀疏基先验知识而无法恢复信号的局限性。
• 开发一种统一的采样与重建框架，适用于任意稀疏信号，无论其底层稀疏基为何。
• 证明在缺乏基知识的情况下，盲恢复仍能唯一实现的理论条件。
• 提出在稀疏基存在特定结构约束下的实用盲恢复算法。
• 通过仿真证明，当信号足够稀疏时，BCS的性能可与标准压缩感知相媲美。

提出的方法

• 提出三种约束以确保盲压缩感知中的唯一性：(1) 稀疏基属于已知的有限基集合，(2) 基为给定字典列的稀疏组合，(3) 多信号间的结构化稀疏性。
• 将第一种约束视为一系列标准压缩感知问题，从而可利用标准CS求解器实现恢复。
• 针对第二种约束，将问题建模为标准压缩感知或稀疏字典学习问题，并对比两种方法。
• 采用高斯随机测量矩阵，并证明在所提约束下，其以概率1满足唯一性条件。
• 采用两阶段恢复流程：首先在约束下估计稀疏基，然后使用标准稀疏恢复算法重建信号。
• 证明在所提约束下，测量矩阵必须具有满火花特性且避免块对角结构，以确保唯一恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在未知稀疏基的前提下，何种条件下可唯一恢复稀疏信号？
• RQ2 当真实稀疏基未知时，盲压缩感知能否实现与标准压缩感知相当的性能？
• RQ3 对稀疏基施加何种结构约束可确保盲设置下的唯一恢复？
• RQ4 在所提约束下，测量数与信号数如何影响盲恢复的成功率？
• RQ5 在所提约束下，高斯随机测量矩阵能否保证盲压缩感知中的唯一恢复？

主要发现

• 当信号足够稀疏且稀疏基满足所提约束时，盲压缩感知的信号恢复性能可与标准压缩感知相媲美。
• 以概率1，高斯随机测量矩阵在所提约束下满足盲恢复的唯一性条件。
• 当未施加约束时，盲压缩感知唯一恢复所需的测量数等于信号的环境维数，凸显结构假设的必要性。
• 对于有限基集合约束，该方法退化为求解多个标准压缩感知问题，可利用现有求解器实现高效恢复。
• 对于稀疏基约束，问题可建模为稀疏字典学习，且标准CS与DL方法均能获得相似的恢复性能。
• 仿真结果证实，在结构约束和足够稀疏性条件下，盲压缩感知可实现与已知稀疏基的标准压缩感知相近的重建精度。