[论文解读] Blind Deconvolution using Convex Programming

Ali Ahmed, Benjamin Recht+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 31被引用 18

一句话总结

本文提出一种凸优化方法解决盲反卷积问题，通过将问题重新表述为核范数最小化的低秩矩阵恢复。在信号维度满足 $\max(N,K) \lesssim L$ 的条件下，于一般性与分布广泛的子空间假设下，可高概率实现对两个未知信号的精确恢复，适用于信道估计与图像去模糊问题。

ABSTRACT

We consider the problem of recovering two unknown vectors, $\boldsymbol{w}$ and $\boldsymbol{x}$, of length $L$ from their circular convolution. We make the structural assumption that the two vectors are members of known subspaces, one with dimension $N$ and the other with dimension $K$. Although the observed convolution is nonlinear in both $\boldsymbol{w}$ and $\boldsymbol{x}$, it is linear in the rank-1 matrix formed by their outer product $\boldsymbol{w}\boldsymbol{x}^*$. This observation allows us to recast the deconvolution problem as low-rank matrix recovery problem from linear measurements, whose natural convex relaxation is a nuclear norm minimization program. We prove the effectiveness of this relaxation by showing that for "generic" signals, the program can deconvolve $\boldsymbol{w}$ and $\boldsymbol{x}$ exactly when the maximum of $N$ and $K$ is almost on the order of $L$. That is, we show that if $\boldsymbol{x}$ is drawn from a random subspace of dimension $N$, and $\boldsymbol{w}$ is a vector in a subspace of dimension $K$ whose basis vectors are "spread out" in the frequency domain, then nuclear norm minimization recovers $\boldsymbol{w}\boldsymbol{x}^*$ without error. We discuss this result in the context of blind channel estimation in communications. If we have a message of length $N$ which we code using a random $L imes N$ coding matrix, and the encoded message travels through an unknown linear time-invariant channel of maximum length $K$, then the receiver can recover both the channel response and the message when $L\gtrsim N+K$, to within constant and log factors.

研究动机与目标

• 解决从其循环卷积中恢复两个未知信号的根本问题，该问题在无结构假设下为非凸且不适定。
• 提出一种基于核范数最小化的凸松弛框架，以在特定结构条件下实现可计算且精确的恢复。
• 在信号位于已知子空间且其中一个为一般性、另一个为频域扩展的子空间条件下，建立精确恢复的理论保证。
• 提供适用于实际问题的框架，如通信中的盲信道估计与图像去模糊。
• 证明当测量数 $L$ 满足 $L \gtrsim N + K$ 时，恢复是可能的，误差在对数与常数因子范围内。

提出的方法

• 通过考虑外积 $\bm{w}\bm{x}^*$ 将盲反卷积重新表述为低秩矩阵恢复问题，该形式在卷积观测下为线性关系。
• 使用核范数作为矩阵 $\bm{w}\bm{x}^*$ 秩的凸近似，从而导出可通过半定规划求解的凸优化问题。
• 利用卷积的傅里叶域表示分析测量算子及其零空间的结构。
• 应用低秩矩阵恢复的最新成果，证明在一般子空间假设下，核范数最小化程序可精确恢复秩-1矩阵。
• 利用概率工具如浓度不等式与随机矩阵理论，界定成功恢复的概率。
• 证明在给定条件下，测量算子满足低秩矩阵的限制等距性质（RIP），从而确保稳定且精确的恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可通过凸优化方法精确恢复两个未知信号的循环卷积？
• RQ2 盲反卷积问题能否被重新表述为具有可证明保证的低秩矩阵恢复问题？
• RQ3 当信号位于维度为 $N$ 和 $K$ 的子空间时，确保精确恢复所需的最小测量数 $L$ 是多少？
• RQ4 信号子空间的几何与谱特性（尤其是频域扩展）如何影响恢复性能？
• RQ5 核范数最小化的凸松弛在多大程度上能对一般性信号子空间实现精确恢复？

主要发现

• 当 $\max(N,K) \lesssim L$ 时，通过核范数最小化对秩-1矩阵 $\bm{w}\bm{x}^*$ 的精确恢复具有高概率保证，误差在对数与常数因子范围内。
• 若 $\bm{x}$ 从维度为 $N$ 的随机子空间中抽取，且 $\bm{w}$ 位于维度为 $K$ 的子空间中，其基向量在频域上分布广泛，则 $\bm{w}$ 与 $\bm{x}$ 可以以高概率被精确恢复。
• 恢复条件 $L \gtrsim N + K$ 几乎是最优的，意味着测量数与信号子空间维度之和呈线性增长。
• 由卷积结构形成的测量算子在给定条件下满足低秩矩阵的限制等距性质（RIP），从而支持稳定恢复。
• 利用测度集中与随机矩阵理论，特别是对傅里叶域中的复高斯向量，建立了理论保证。
• 结果对噪声具有鲁棒性，并可推广至实际应用，如数字通信中的盲均衡与未知点扩散函数的图像去模糊。