[论文解读] BLM realization for ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$

Qiang Fu|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文通过广义谢瓦莱代数的环-霍尔代数与仿射施瓦茨代数结构常数的稳定化，建立了仿射一般线性李代数的泛包络代数的整数形式 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 的 BL 实现。它构造了一个显式的 $\mathbb{Z}$-基底和显式的乘法公式，证明了 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 是一个 $\mathbb{Z}$-霍普夫子代数，并且到整数仿射施瓦茨代数的自然映射是满射。

ABSTRACT

In 1990, Beilinson-Lusztig-MacPherson (BLM) discovered a realization \cite[5.7]{BLM} for quantum $\frak{gl}_n$ via a geometric setting of quantum Schur algebras. We will generailze their result to the classical affine case. More precisely, we first use Ringel-Hall algebras to construct an integral form ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$ of ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$, where ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$ is the universal enveloping algebra of the loop algebra $\hat{\frak{gl}}_n:=\frak{gl}_n(\mathbb Q)\otimes\mathbb Q[t,t^{-1}]$. We then establish the stabilization property of multiplication for the classical affine Schur algebras. This stabilization property leads to the BLM realization of ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$ and ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$. In particular, we conclude that ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$ is a $\mathbb Z$-Hopf subalgebra of ${\mathcal U}(\hat{\frak{gl}}_n)$. As a bonus, this method leads to an explicit $\mathbb Z$-basis for ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$, and it yields explicit multiplication formulas between generators and basis elements for ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$. As an application, we will prove that the natural algebra homomorphism from ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\hat{\frak{gl}}_n)$ to the affine Schur algebra over $\mathbb Z$ is surjective.

研究动机与目标

• 将贝利松-卢茨蒂格-麦克唐纳（BLM）对量子 $\mathfrak{gl}_n$ 的实现推广到经典仿射情形。
• 利用环-霍尔代数构造泛包络代数 $\widehat{\mathfrak{gl}}_n$ 的整数形式 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$。
• 建立仿射施瓦茨代数中乘法的稳定化性质，类比于有限型情形。
• 证明 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 是一个 $\mathbb{Z}$-霍普夫子代数，并构造显式的 $\mathbb{Z}$-基底与显式乘法公式。
• 通过证明从 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 到整数仿射施瓦茨代数的自然代数同态是满射，建立整数仿射施瓦茨-外尔对偶性。

提出的方法

• 通过环-霍尔代数将 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 构造为 ${\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 的自由 $\mathbb{Z}$-子模。
• 证明了仿射施瓦茨代数的结构常数具有稳定化性质，将 [1, 4.2] 推广到仿射情形。
• 引入一个无单位元的代数 ${\mathcal{K}}_{\mathbb{Z}}(n)$，并考虑其完备化 $\widehat{\mathcal{K}}_{\mathbb{Q}}(n)$。
• 在 $\widehat{\mathcal{K}}_{\mathbb{Q}}(n)$ 内构造一个 $\mathbb{Z}$-子模 ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$，证明其为具有显式乘法公式的 $\mathbb{Z}$-子代数。
• 建立同构 ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Q}}(n) \cong {\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$，表明在有理数层面上实现了 BLM 实现。
• 证明 ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$ 实现了 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$，从而得到显式的 $\mathbb{Z}$-基底与乘法规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将量子 $\mathfrak{gl}_n$ 的 BLM 实现扩展到经典仿射情形？
• RQ2 是否存在类似于有限型情形的仿射施瓦茨代数中乘法的稳定化性质？
• RQ3 能否为整数形式 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 构造显式的 $\mathbb{Z}$-基底与乘法公式？
• RQ4 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 是否为 ${\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 的 $\mathbb{Z}$-霍普夫子代数？
• RQ5 从 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 到整数仿射施瓦茨代数的自然代数同态是否为满射？

主要发现

• 本文通过 ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$ 的实现，构造了 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 的显式 $\mathbb{Z}$-基底。
• 推导出了 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 的生成元与任意基底元素之间的显式乘法公式。
• 证明了 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 是 ${\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$ 的 $\mathbb{Z}$-霍普夫子代数。
• 建立了 BLM 实现：${\mathcal{V}}_{\mathbb{Q}}(n) \cong {\mathcal{U}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$，且 ${\mathcal{V}}_{\mathbb{Z}}(n)$ 实现了 ${\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n)$。
• 自然代数同态 $\xi_r: {\mathcal{U}}_{\mathbb{Z}}(\widehat{\mathfrak{gl}}_n) \twoheadrightarrow {\mathcal{S}}_{{\!\vartriangle\!}}(n,r)_{\mathbb{Z}}$ 是满射。
• 在整数层面上，仿射施瓦茨-外尔对偶性成立，因为 $\xi_r$ 在任意域 $k$ 上都是满射。