[论文解读] Bloch's Conjecture, Deligne Cohomology and Higher Chow Groups

Morihiko Saito|ArXiv.org|Oct 21, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文通过利用广义Deligne上同调的归纳极限表达Abel-Jacobi映射的核，建立了Bloch猜想、Deligne上同调与高阶Chow群之间的联系。在超平面截面满足Bloch猜想的条件下，证明了余维2循环的Albanese映射的双射性，并在特定情形下验证了Nori猜想，将Beilinson公式推广至非完备光滑代数簇的情形。

ABSTRACT

We express the kernel of Griffiths' Abel-Jacobi map by using the inductive limit of Deligne cohomology in the generalized sense (i.e. the absolute Hodge cohomology of A. Beilinson). This generalizes a result of L. Barbieri-Viale and V. Srinivas in the surface case. We then show that the Abel-Jacobi map for codimension 2 cycles and the Albanese map are bijective if a general hyperplane section is a surface for which Bloch's conjecture is proved. In certain cases we verify Nori's conjecture on the Griffiths group. We also prove a weak Lefschetz-type theorem for (higher) Chow groups, generalize a formula for the Abel-Jacobi map of higher cycles due to Beilinson and Levine to the smooth non proper case, and give a sufficient condition for the nonvanishing of the transcendental part of the image by the Abel-Jacobi map of a higher cycle on an elliptic surface, together with some examples.

研究动机与目标

• 通过广义（绝对Hodge）意义下的归纳极限，推广Abel-Jacobi映射核的描述，采用Deligne上同调的形式。
• 建立Abel-Jacobi映射（针对余维2循环）与Albanese映射为双射的条件，特别是当一般超平面截面满足Bloch猜想时。
• 在特定几何设定下，验证Nori关于Griffiths群的猜想。
• 将Beilinson关于高阶循环Abel-Jacobi映射的公式推广至光滑但可能非完备的代数簇情形。
• 为椭圆曲面上高阶循环的Abel-Jacobi像的超越部分非零提供充分条件，并辅以具体例子。

提出的方法

• 利用广义Deligne上同调（Beilinson意义下的绝对Hodge上同调）的归纳极限来描述Abel-Jacobi映射的核。
• 应用高阶Chow群理论及其与Deligne上同调的关系，分析代数周期模代数等价类的性质。
• 采用适用于（高阶）Chow群的弱Lefschetz型定理，将代数簇的上同调性质与其超平面截面的性质相联系。
• 将Beilinson关于Abel-Jacobi映射的公式适配至光滑且可能非完备的代数簇情形。
• 应用椭圆曲面理论，构造出Abel-Jacobi像的超越部分非零的具体例子。
• 将Albanese映射的双射性作为关键工具，推导出在Bloch猜想框架下的有限性与单射性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，余维2循环的Abel-Jacobi映射核可由广义Deligne上同调群的归纳极限描述？
• RQ2 当一般超平面截面满足Bloch猜想时，余维2循环的Albanese映射在何种情形下为双射？
• RQ3 在何种情形下，可利用所提出的框架验证Nori关于Griffiths群的猜想？
• RQ4 如何将Beilinson关于高阶循环Abel-Jacobi映射的公式推广至光滑非完备代数簇？
• RQ5 何种条件可确保椭圆曲面上高阶循环的Abel-Jacobi像的超越部分非零？

主要发现

• 余维2循环的Abel-Jacobi映射核，与广义Deligne上同调群的归纳极限之间存在自然同构。
• 若一般超平面截面满足Bloch猜想，则余维2循环的Albanese映射为双射。
• 当超平面截面为满足Bloch猜想的曲面时，Nori关于Griffiths群的猜想得以验证。
• 建立了适用于高阶Chow群的弱Lefschetz型定理，将代数簇的Chow群与其超平面截面的Chow群相联系。
• 为椭圆曲面上高阶循环的Abel-Jacobi像的超越部分非零提供了充分条件，并给出了具体例子。
• Beilinson关于高阶循环Abel-Jacobi映射的公式被推广至光滑非完备情形，扩展了其适用范围。