[论文解读] Bloch sphere model for two-qubit pure states

Chu-Ryang Wie|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2014

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 3被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于三个单位2-球面和一个相位因子的两量子比特纯态几何模型，其中两个球面代表单个量子比特的布洛赫球面，第三个球面通过 concurrence（纠缠度量）和非局域相位编码纠缠。通过霍普夫纤维丛和单个四元数关系，该模型统一了局域与非局域性质，实现了对量子态及幺正操作的几何表示。

ABSTRACT

The two-qubit pure state is explicitly parameterized by three unit 2-spheres and a phase factor. For separable states, two of the three unit spheres are the Bloch spheres of each qubit. The third sphere parameterizes the degree and phase of concurrence, an entanglement measure. This sphere may be considered a variable complex imaginary unit where the stereographic projection maps the qubit-A Bloch sphere to a complex plane with this variable imaginary unit. This Bloch sphere model gives a consistent description of the two-qubit pure states for both separable and entangled states. We argue that the third sphere (entanglement sphere) parameterizes the nonlocal properties, entanglement and a nonlocal relative phase, while the local relative phases are parameterized by the azimuth angles of the two quasi-Bloch spheres. On these three unit spheres and a phase factor, the two-qubit pure states and unitary gates can be geometrically represented. Accomplished by means of Hopf fibration, the complex amplitudes of a two-qubit pure state and the Bloch sphere parameters are related by a single quaternionic relation.

研究动机与目标

• 开发一种统一的两量子比特纯态几何表示方法，同时包含局域与非局域量子性质。
• 利用第三个单位球面对纠缠度和非局域相对相位进行参数化，该球面不同于单个量子比特的标准布洛赫球面。
• 通过霍普夫纤维丛等拓扑工具，建立适用于可分与纠缠两量子比特态的一致几何框架。
• 通过单个四元数方程，将两量子比特态的复振幅与布洛赫球面参数关联起来。
• 通过基于球面的参数化，实现对两量子比特纯态上幺正操作的几何可视化。

提出的方法

• 使用三个单位2-球面和一个全局相位因子对两量子比特纯态进行参数化，其中两个球面对应该量子比特的布洛赫表示。
• 利用第三个球面表示 concurrence 的大小和相位，即纠缠度量，作为可变的复虚数单位。
• 从纠缠球面出发应用立体投影，将量子比特-A 的布洛赫球面映射到一个具有非标准虚数单位的复平面。
• 通过霍普夫纤维丛，利用单个四元数关系将两量子比特态的复振幅与三个球面参数及相位因子关联起来。
• 区分编码在两个准布洛赫球面方位角中的局域相对相位与编码在纠缠球面中的非局域相位。
• 通过操控三个球面和相位因子，构建两量子比特态及幺正门的几何表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对两量子比特纯态进行几何参数化，以同时表示局域量子比特态与非局域纠缠？
• RQ2 第三个单位球面在标准布洛赫球面表示之外，如何编码纠缠与非局域相对相位？
• RQ3 能否利用霍普夫纤维丛等拓扑结构，构建一个统一的几何模型来描述可分与纠缠的两量子比特态？
• RQ4 两量子比特态的复振幅如何与三球面模型的参数相关联？
• RQ5 在此几何框架中，局域相对相位与非局域相位有何不同？

主要发现

• 两量子比特纯态由三个单位2-球面和一个全局相位因子完全参数化，提供了完整的几何描述。
• 第三个球面，即纠缠球面，同时编码了 concurrence 的大小和相位，量化了纠缠程度。
• 纠缠球面作为可变的复虚数单位，使立体投影能够将量子比特-A 的布洛赫球面映射到具有非标准复结构的复平面。
• 局域相对相位编码在两个准布洛赫球面的方位角中，而非局域相位则编码在纠缠球面中。
• 通过霍普夫纤维丛推导出的单个四元数关系，将两量子比特态的复振幅与三个球面参数及相位因子关联起来。
• 该模型通过操控三个球面和相位因子，实现了对两量子比特纯态及幺正操作的几何表示。