[论文解读] Block Backstepping for Isotachic Hyperbolic PDEs and Multilayer Timoshenko Beams

Guangwei Chen, Rafael Vázquez+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2023

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文提出一种用于等速双曲PDE的块backstepping设计——其中多个状态具有相同的传输速度——以实现对具有未受控边界处抗阻尼和抗刚度的N层Timoshenko梁的快速稳定。通过Riemann变换将梁模型转化为一维双曲PIDE-ODE系统，并应用块backstepping方法，该方法实现了任意快速的$L^2$-稳定性，且通过控制参数可调节指数衰减率。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the rapid stabilization of N-layer Timoshenko composite beams with anti-damping and anti-stiffness at the uncontrolled boundaries. The problem of stabilization for a two-layer composite beam has been previously studied by transforming the model into a 1-D hyperbolic PIDE-ODE form and then applying backstepping to this new system. In principle this approach is generalizable to any number of layers. However, when some of the layers have the same physical properties (as e.g. in lamination of repeated layers), the approach leads to isotachic hyperbolic PDEs (i.e. where some states have the same transport speed). This particular yet physical and interesting case has not received much attention beyond a few remarks in the early hyperbolic design. Thus, this work starts by extending the theory of backstepping control of (m + n) hyperbolic PIDEs and m ODEs to blocks of isotachic states, leading to a block backstepping design. Then, returning to multilayer Timoshenko beams, the Riemann transformation is used to transform the states of N-layer Timoshenko beams into a 1-D hyperbolic PIDE-ODE system. The block backstepping method is then applied to this model, obtaining closed-loop stability of the origin in the L2 sense. An arbitrarily rapid convergence rate can be obtained by adjusting control parameters. Finally, numerical simulations are presented corroborating the theoretical developments.

研究动机与目标

• 解决等速双曲PDE系统缺乏系统性控制设计的问题，此类系统中多个状态共享相同的传输速度，这在具有重复层的层压结构中很常见。
• 将backstepping方法扩展至处理等速状态块，克服先前通用backstepping设计的局限性，后者假设各传输速度不同。
• 通过边界反馈控制稳定具有不稳定边界条件（抗阻尼和抗刚度）的N层Timoshenko梁。
• 通过新型块backstepping框架实现对多层梁的任意快速稳定（具有用户定义衰减率的指数衰减）。
• 通过数值仿真验证控制器的有效性，包括指定衰减率的两层梁仿真及核函数计算。

提出的方法

• 应用Riemann变换，将N层Timoshenko梁模型转化为包含$(m+n)$个双曲PIDE和$m$个ODE的一维双曲PIDE-ODE系统。
• 通过将系统对角化为等速块，开发块backstepping设计，其中每个块内的状态共享相同的传输速度。
• 构造一种具有块状结构核函数的Volterra型变换，将原系统映射至具有期望稳定性质的目标系统。
• 使用幂级数法推导并求解48个耦合核方程，其定义域为三角形区域，且由于块结构导致核函数存在不连续性。
• 利用变换核在边界处的取值设计边界反馈控制器，各层端部的力和力矩实现独立控制。
• 通过验证变换满足目标系统稳定性条件（衰减率$C_2 = 6$），该值通过初始增益矩阵$oldsymbol{ ilde{ heta}}(0)$设定，确保闭环稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将backstepping控制方法推广至具有等速双曲PDE的系统，其中多个状态共享相同的传输速度？
• RQ2 块backstepping框架能否稳定具有未受控边界处抗阻尼和抗刚度的N层Timoshenko梁？
• RQ3 Riemann变换在使backstepping方法适用于多层Timoshenko梁中起到什么作用？
• RQ4 如何通过控制器参数调节实现此类系统中任意快速的稳定？
• RQ5 求解等速系统核方程时会遇到哪些数值挑战，以及如何解决？

主要发现

• 块backstepping方法成功稳定了具有未受控边界处抗阻尼和抗刚度的N层Timoshenko梁，实现了原点的$L^2$-稳定性。
• 闭环系统表现出指数衰减，衰减率可由用户定义；通过设定$oldsymbol{ ilde{ heta}}(0)$的特定值，实现了$C_2 = 6$的衰减率。
• 数值仿真证实了理论结果：开环状态下状态发散，而闭环状态下状态随时间收敛至零。
• 计算了$i,j = 1,2,3,4$的增益核$K_{ij}(1,y)$和$L_{ij}(1,y)$，并显示其沿直线存在不连续性，需进行区域分割处理。
• 控制器要求对每层边界处的力和力矩实现独立控制，这对实现快速稳定至关重要，无法通过单一通用执行器实现。
• 计算得到变换核矩阵$oldsymbol{ ilde{ heta}}(1)$为4×4矩阵，其特定元素确认了控制器设计的可行性。