[论文解读] Block Kronecker Linearizations of Matrix Polynomials and their Backward Errors

Froilán M. Dopico, Piers W. Lawrence+2 more|MIMS EPrints (University of Southampton)|Jul 16, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文引入了块克罗内克线性化——一类用于矩阵多项式的新型强线性化方法——可实现完全多项式特征问题的后向稳定求解。它提供了严格的、有限扰动下的后向误差分析，表明计算出的特征结构对应于经过微小扰动后的多项式，且误差界在一大类线性化中均有效。

ABSTRACT

We introduce a new family of strong linearizations of matrix polynomials---which we call "block Kronecker pencils"---and perform a backward stability analysis of complete polynomial eigenproblems. These problems are solved by applying any backward stable algorithm to a block Kronecker pencil, such as the staircase algorithm for singular pencils or the QZ algorithm for regular pencils. This stability analysis allows us to identify those block Kronecker pencils that yield a computed complete eigenstructure which is exactly that of a slightly perturbed matrix polynomial. The global backward error analysis in this work presents for the first time the following key properties: it is a rigurous analysis valid for finite perturbations (i.e., it is not a first order analysis), it provides precise bounds, it is valid simultaneously for a large class of linearizations, and it establishes a framework that may be generalized to other classes of linearizations. These features are related to the fact that block Kronecker pencils are a particular case of the new family of "strong block minimal bases pencils", which are robust under certain perturbations and, so, include certain perturbations of block Kronecker pencils. We hope that this robustness property will allow us to extend the results in this paper to other contexts.

研究动机与目标

• 开发一类新的矩阵多项式强线性化方法，以确保在求解完整多项式特征问题时具有后向稳定性。
• 进行严格的后向误差分析，适用于有限扰动，避免使用一阶近似。
• 建立精确的后向误差界，可同时适用于一大类线性化方法，包括块克罗内克铅笔。
• 确定计算出的特征结构恰好对应于经过微小扰动的矩阵多项式的条件。
• 通过强块极小基铅笔的框架，为将分析推广至其他线性化类提供基础。

提出的方法

• 提出块克罗内克铅笔作为一类新的强线性化方法，其来源于对偶极小基和块极小基结构的推导。
• 应用正交变换和行/列置换，将系数矩阵转换为具有可识别子矩阵的块对角形式。
• 通过分析结构化矩阵 $\hat{C}_{\varepsilon-1}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ 和 $\hat{C}_{\varepsilon}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ 的奇异值，来界定后向误差。
• 证明这些系数矩阵的最小奇异值为 $\sigma_{\min}(M_\varepsilon) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4\varepsilon+2}\right)$，该值决定了后向误差界。
• 利用变换后矩阵的正交性和等价性，保持奇异值，从而实现精确的误差量化。
• 利用强块极小基铅笔的框架，确保在扰动下的鲁棒性，从而可推广至其他线性化族。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为矩阵多项式特征问题发展一种严格的后向误差分析，使其适用于有限扰动而非仅一阶近似？
• RQ2 线性化必须具备何种性质，才能确保计算出的特征结构恰好对应于经过微小扰动的矩阵多项式？
• RQ3 块克罗内克铅笔在后向误差界和稳定性方面与其它线性化方法相比如何？
• RQ4 后向误差分析能否推广至块克罗内克铅笔以外的其他线性化类？
• RQ5 极小指标和对偶极小基在构建鲁棒且后向稳定的线性化中起什么作用？

主要发现

• 后向误差分析是严格且适用于有限扰动的，不局限于一阶近似。
• 关键矩阵 $M_\varepsilon$ 的最小奇异值为 $\sigma_{\min}(M_\varepsilon) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4\varepsilon+2}\right)$，该值决定了后向误差界。
• 该最小奇异值满足 $\sigma_{\min}(M_\varepsilon) \geq \frac{3}{2(\varepsilon+1)}$，为误差分析提供了有用的下界。
• 分析表明，块克罗内克铅笔的计算特征结构恰好对应于一个经过微小扰动的矩阵多项式，且扰动大小受后向误差的限制。
• 强块极小基铅笔的框架确保了在扰动下的鲁棒性，使得结果可推广至其他线性化族。
• 系数矩阵 $C_{\varepsilon-1}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ 和 $C_{\varepsilon}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ 的奇异值在正交变换下保持不变，从而实现精确的误差量化。