[论文解读] Blocking unions of arborescences

Attila Bernáth, Gyula Pap|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于在有向图中阻断所有最小代价的 k-并查生成树，其目标是找到一个最小权值的弧集，使得移除该弧集后所有此类最优结构均被破坏。该解法利用了内实集的 Helly 性质以及代表性树数据结构，以高效地探索顶点的子划分，当代价函数与权值函数均为均匀时，实现了多项式时间复杂度。

ABSTRACT

Given a digraph $D=(V,A)$ and a positive integer $k$, a subset $B\subseteq A$ is called a extbf{$k$-union-arborescence}, if it is the disjoint union of $k$ spanning arborescences. When also arc-costs $c:A o \mathbb{R}$ are given, minimizing the cost of a $k$-union-arborescence is well-known to be tractable. In this paper we take on the following problem: what is the minimum cardinality of a set of arcs the removal of which destroys every minimum $c$-cost $k$-union-arborescence. Actually, the more general weighted problem is also considered, that is, arc weights $w:A o \mathbb{R}_+$ (unrelated to $c$) are also given, and the goal is to find a minimum weight set of arcs the removal of which destroys every minimum $c$-cost $k$-union-arborescence. An equivalent version of this problem is where the roots of the arborescences are fixed in advance. In an earlier paper [A. Bern\'ath and Gy. Pap, \emph{Blocking optimal arborescences}, Integer Programming and Combinatorial Optimization, Springer, 2013] we solved this problem for $k=1$. This work reports on other partial results on the problem. We solve the case when both $c$ and $w$ are uniform -- that is, find a minimum size set of arcs that covers all $k$-union-arbosercences. Our algorithm runs in polynomial time for this problem. The solution uses a result of [M. B\'ar\'asz, J. Becker, and A. Frank, \emph{An algorithm for source location in directed graphs}, Oper. Res. Lett. extbf{33} (2005)] saying that the family of so-called insolid sets (sets with the property that every proper subset has a larger in-degree) satisfies the Helly-property, and thus can be (efficiently) represented as a subtree hypergraph. We also give an algorithm for the case when only $c$ is uniform but $w$ is not. This algorithm is only polynomial if $k$ is not part of the input.

研究动机与目标

• 解决在有向图中寻找最小权值弧集以阻断所有最小代价 k-并查生成树的问题。
• 将先前针对最优生成树（k=1）的阻断工作扩展至一般的 k-并查情况。
• 为阻断问题的均匀代价与一般权值版本开发高效算法。
• 在 k 作为输入的一部分且代价函数与权值函数均为均匀时，建立多项式时间可解性。
• 通过超图表示与子划分优化，为阻断问题提供理论基础。

提出的方法

• 利用内实集的 Helly 性质——即每个真子集的入度更高——来建模 k-并查生成树的结构。
• 通过代表性树将内实集族表示为子树超图，实现高效枚举。
• 在大小介于 2 到 k+1 之间的顶点子划分上进行贪心搜索，以识别关键弧集。
• 应用子程序（Best-Fixed-Subpart）计算固定大小 t 的子划分上的最小入度权值和。
• 利用最小 s-t 割与入度最小化算法作为子程序，高效计算入度权值。
• 设计主算法，通过遍历可能的子划分大小与弧子集，寻找最优阻断集。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代价函数与权值函数均为均匀时，能否在多项式时间内求解阻断所有最小代价 k-并查生成树的问题？
• RQ2 能否利用内实集与子划分对 k-并查生成树的最小阻断集进行结构表征？
• RQ3 如何利用内实集的 Helly 性质设计阻断问题的高效算法？
• RQ4 当 k 不是固定值且仅代价函数为均匀时，阻断问题的计算复杂度是多少？
• RQ5 该问题能否约化为在内实集代表性树上的最小权子划分问题？

主要发现

• 本文提出了一种在代价函数与权值函数均为均匀时，阻断所有 k-并查生成树的多项式时间算法，时间复杂度为 O(mk²(nk+1m log(n²/m) + n⁴m))。
• 该解法依赖于内实集的 Helly 性质，使得内实集族可通过代表性树高效表示。
• 一个名为 Best-Fixed-Subpart 的子程序可在 O(nt−1HO(n,m)) 时间内计算固定大小 t 的子划分上的最小权入度和。
• 最优阻断集必须与所有 k-并查生成树相交，且此类集合对应于从大小为 X 的子划分中移除除 k(|X|−1)−1 条弧以外的所有入边，其中 2 ≤ |X| ≤ k+1。
• 该算法正确，因为每个最优阻断集均对应于此类子划分，且算法全面检查了所有可行配置。
• 当 k 不作为输入的一部分时，运行时间为 n 与 m 的多项式时间；若 k 作为输入的一部分，则时间复杂度在 k 上呈指数增长，但当 c 与 w 均为均匀时，仍保持多项式时间。