[论文解读] Blocking up D-branes : Matrix renormalization ?

K. Narayan|ArXiv.org|Nov 13, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文提出了一种矩阵粗化程序——'块化'D膜——通过在非交换D膜几何中对相邻矩阵坐标取平均，受统计力学中块自旋技术的启发。结果表明，在该程序下，当引入反项矩阵时，非交换平面、模糊球面和环面均表现出自相似行为，表明其向阿贝利安极限的重整化流是合理且非混沌的。

ABSTRACT

Drawing analogies with block spin techniques used to study continuum limits in critical phenomena, we attempt to block up D-branes by averaging over near neighbour elements of their (in general noncommuting) matrix coordinates, i.e.\ in a low energy description. We show that various D-brane (noncommutative) geometries arising in string theory appear to behave sensibly under blocking up, given certain key assumptions in particular involving gauge invariance. In particular, the (gauge-fixed) noncommutative plane, fuzzy sphere and torus exhibit a self-similar structure under blocking up, if some ``counterterm'' matrices are added to the resulting block-algebras. Applying these techniques to matrix representations of more general D-brane configurations, we find that blocking up averages over far-off-diagonal matrix elements and brings them in towards the diagonal, so that the matrices become ``less off-diagonal'' under this process. We describe heuristic scaling relations for the matrix elements under this process. Further, we show that blocking up does not appear to exhibit any ``chaotic'' behaviour, suggesting that there is sensible physics underlying such a matrix coarse-graining. We also discuss briefly interrelations of these ideas with B-fields and noncommutativity.

研究动机与目标

• 开发一种类似于统计场论中块自旋变换的基于矩阵的粗化程序，并将其应用于D膜构型。
• 研究非交换D膜几何——如非交换平面、模糊球面和环面——在该类块化下是否表现出自相似行为。
• 探讨规范不变性在定义物理上有意义的块化程序中的作用，以保持几何与动力学的一致性。
• 研究远对角矩阵元在块化过程中如何被平均并被抑制，从而导致非交换性的减弱。
• 确定块化过程是否导致混沌或物理上合理的演化，从而推测矩阵模型是否存在连续极限。

提出的方法

• 通过在D膜坐标矩阵的本征基中对相邻矩阵元取平均，定义块化程序，假设D膜位置具有空间排序。
• 将块化变换应用于矩阵坐标 $X^i$，形成块平均矩阵 $\tilde{X}^i$，代表有效低能自由度。
• 在块代数中引入'反项'矩阵，以在模糊球面和环面等非交换几何中恢复一致性和自相似性。
• 使用规范不变的权重（例如 $e^{-|\vec{x}_i - \vec{x}_j|^2}$）进行加权平均，以确保块化过程的规范不变性。
• 分析块化下矩阵元的标度关系，显示对角线分量系统性地减小。
• 与替代块化方案（如时空块化，例如将分离的D膜中心合并为单个中心）进行比较，以区分场论与引力对偶视角。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将类似于块自旋变换的矩阵粗化程序一致地应用于非交换D膜几何？
• RQ2 关键的非交换几何——如非交换平面、模糊球面和环面——在块化后是否表现出自相似行为？
• RQ3 规范不变性在定义D膜矩阵构型的物理上有意义块化程序中起什么作用？
• RQ4 远对角矩阵元在块化下如何演化？其抑制能否通过标度关系进行量化？
• RQ5 块化过程是否表现出混沌或稳定行为？这对矩阵模型中连续极限的存在意味着什么？

主要发现

• 当在块代数中加入适当的反项矩阵时，非交换平面、模糊球面和环面在块化后均表现出自相似行为。
• 块化过程减少了矩阵坐标的对角线分量，有效使矩阵'对角化'，并推动其趋向阿贝利安极限。
• 矩阵元的标度关系显示对角线贡献系统性地缩小，表明存在受控的重整化流。
• 诸如 $X^i$ 的幂次的迹等矩阵不变量在块化下表现如c-函数，表明粗化过程可能具有单调性。
• 该块化程序未表现出混沌行为，支持矩阵模型存在明确且物理上合理的连续极限的观点。
• 替代块化方案——如在时空中合并D膜中心——会增强规范对称性，并产生单中心超引力解，凸显了规范/引力对偶中的双重视角。