[论文解读] Blow-up criterion, ill-posedness and existence of strong solution for Korteweg system with infinite energy

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文通过允许初始密度不连续，即当 $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ 时，建立了具有无限能量的 Korteweg 系统强解的存在性。本文提出了一种基于控制 $\frac{1}{\rho}$ 在 $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 中的新型爆破准则，其中 $\varepsilon > 0$，从而实现解的有限时间延拓，并证明了在某些情形下系统的不适定性。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985), which can be used as a phase transition model. We will prove the existence of strong solutions in finite time with discontinuous initial density, more precisely $\lnρ_{0}$ is in $B^{\N}_{2,\infty}(\R^{N})$. Our analysis improves the results of \cite{fDD} and \cite{fH1}, \cite{fH2} by working in space of infinite energy. In passing our result allow to consider initial data with discontinuous interfaces, whereas in all the literature the results of existence of strong solutions consider always initial density that are continuous. More precisely we investigate the existence of strong solution for Korteweg's system when we authorize jump in the pressure across some hypersurface. We obtain also a result of ill-posedness for Korteweg system and we derive a new blow-up criterion which is the main result of this paper. More precisely we show that if we control the vacuum (i.e $\frac{1}ρ\in L^{\infty}_{T}(\dot{B}^{0}_{N+\e,1}(\R^{N}))$ with $\e>0$) then we can extend the strong solutions in finite time. It extends substantially previous results obtained for compressible equations.

研究动机与目标

• 在无限能量空间中建立 Korteweg 系统强解的存在性，特别是当 $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ 时。
• 允许初始密度不连续以及在超曲面上存在压力跃迁，克服了以往研究中要求初始密度连续的限制。
• 基于对 $\frac{1}{\rho}$ 在 $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 中的控制，推导出一种新型爆破准则，从而实现解在有限时间内的延拓。
• 证明在某些条件下 Korteweg 系统的不适定性，凸显解对初始数据正则性敏感的特性。

提出的方法

• 分析在临界 Besov 空间 $\widetilde{L}^\infty_T(\dot{B}^{0}_{p,\infty})$ 和 $\widetilde{L}^\infty_T(\dot{B}^{1}_{p,\infty})$ 中进行，其中 $p = N + \frac{\varepsilon}{2}$，允许初始数据具有无限能量。
• 关键步骤包括推导估计式 $\|\nabla\ln\rho\|_{\widetilde{L}^\infty(\dot{B}^{0}_{p_2,\infty})} \leq C(1 + \|\frac{1}{\rho} - 1\|_{\widetilde{L}^\infty(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})})\|\nabla\rho\|_{\widetilde{L}^\infty(B^{0}_{p,\infty})}$，以控制密度的对数梯度。
• 通过变换 $u = v - \frac{\kappa}{\mu}\nabla\ln\rho$ 实现速度与密度动力学的解耦，从而实现对 $u$ 在 $L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ 中的控制。
• 从动量方程出发，利用包含 $\Pi(\rho)$ 和毛细项 $\frac{\kappa(\rho)}{2}|\nabla\rho|^2$ 的自由能泛函，推导出先验能量估计，确保在初始能量受控下保持有界性。
• 通过证明若 $\frac{1}{\rho} \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 且 $\varepsilon > 0$，则强解可被延拓至任意时间 $T$ 之外，从而建立爆破准则。
• 通过分析当初始数据缺乏足够正则性时，临界空间中连续依赖性失效的情形，推导出不适定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度不连续，即 $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$ 时，Korteweg 系统在无限能量背景下是否存在强解？
• RQ2 为确保强解可被延拓至有限时间 $T$ 之外，对 $\frac{1}{\rho}$ 的最小正则性要求是什么？
• RQ3 在超曲面上存在压力跃迁时，如何影响解的适定性与正则性？
• RQ4 在初始数据不满足某些临界正则性条件时，Korteweg 系统在何种意义上是不适定的？
• RQ5 能否推导出一种依赖于 $\frac{1}{\rho}$ 在 $\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1}$ 中可积性的新型爆破准则，其中 $\varepsilon > 0$？

主要发现

• 本文证明了在临界 Besov 空间中，即使 $\ln\rho_0 \in B^{\frac{N}{2}}_{2,\infty}(\mathbb{R}^N)$，Korteweg 系统仍存在强解，突破了以往要求初始密度连续的研究限制。
• 提出一种新型爆破准则：若 $\frac{1}{\rho} \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\varepsilon,1})$ 且 $\varepsilon > 0$，则强解可被延拓至任意时间 $T$ 之外，确保有限时间存在性。
• 解满足 $u \in L^\infty_T(\dot{B}^{0}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$ 和 $\ln\rho \in L^\infty_T(\dot{B}^{1}_{N+\frac{\varepsilon}{2},\infty})$，确认了解在临界空间中的正则性。
• 本文表明 $\rho^{1/p}v \in L^\infty_T(L^p)$ 对所有 $1 \leq p < \infty$ 成立，表明速度在 $L^p$-型范数下具有可积性与有界性。
• 当初始数据不满足所需临界正则性时，证明了 Korteweg 系统的不适定性，凸显了 $\frac{1}{\rho}$ 控制条件的必要性。
• 当 $\kappa(\rho) = \frac{\kappa}{\rho}$ 时，毛细张量被重写为 $\mathrm{div}K = \kappa \, \mathrm{div}(\rho \nabla\nabla\ln\rho)$，为系统动力学提供了新的结构洞见。