[论文解读] Blow-up of critical norms for the 3-D Navier-Stokes equations

Wendong Wang, Zhifei Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文基于单个速度分量的行为，为三维纳维-斯托克斯方程建立了一个新的内部正则性准则，证明若垂直分量 $ u_3 $ 局部有界于临界贝索夫空间，且水平分量 $ u_h $ 局部有界于 $ BMO^{-1} $，且满足 $ u_h(T) \in VMO^{-1} $，则光滑解可被延拓至时间 $ T $ 之后。该结果通过爆破分析与反向唯一性方法，改进了以往的准则，允许一个分量在尺度不变范数下较大，同时仍能保证全局正则性。

ABSTRACT

Let $u=(u_h,u_3)$ be a smooth solution of the 3-D Navier-Stokes equations in $\R^3 imes [0,T)$. It was proved that if $u_3\in L^{\infty}(0,T;\dot{B}^{-1+3/p}_{p,q}(\R^3))$ for $3

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：当解在尺度不变空间中保持有界时，三维纳维-斯托克斯方程的光滑解是否可被延拓至有限时间 $ T $ 之后。
• 推广最近由加拉格尔、科赫与普朗松得出的结果，该结果要求整个速度场 $ u $ 在 $ \dot{B}^{-1+3/p}_{p,q} $ 中有界，现将其条件放宽至仅一个分量有界。
• 基于垂直速度分量 $ u_3 $ 建立一个新的内部正则性准则，允许水平分量 $ u_h $ 在 $ BMO^{-1} $ 中较大，只要满足 $ u_h(T) \in VMO^{-1} $。
• 证明：即使 $ u_h $ 较大，只要垂直分量 $ u_3 $ 在局部尺度不变范数下保持较小，则解的爆破不可能发生。
• 发展一种精细化的爆破分析与反向唯一性论证，利用当 $ u_3 $ 在爆破极限中消失时的极限轮廓结构。

提出的方法

• 引入一个新的尺度不变量 $ G(f,p,q;r) = r^{1-3/p-2/q}\|f\|_{L^q_t L^p_x(Q_r)} $，用于度量速度分量的局部可积性。
• 应用爆破分析研究解在潜在奇点附近的行为，构造一个满足简化系统且满足 $ v_3 = 0 $ 的极限轮廓 $ v $。
• 利用埃斯考里亚萨、塞雷金与什韦日克的反向唯一性方法，在新准则下排除非平凡奇点的存在。
• 在爆破极限中导出水平速度 $ v_h $ 的方程组：$ \partial_t v_h - \Delta v_h + v_h \cdot \nabla_h v_h + \nabla_h \pi = 0 $，且 $ \partial_{x_3}\pi = 0 $，该方程组允许基于涡量的估计。
• 运用椭圆估计与能量型不等式，对涡量 $ w_h = \partial_1 v_2 - \partial_2 v_1 $ 与垂直导数 $ d = \partial_3 v_h $ 进行控制，从而控制 $ \|\nabla v_h\|_{L^\infty_t L^2_x} $。
• 通过截断函数与索伯列夫嵌入控制能量估计中的非线性项，从而在更小的抛物柱体内获得一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅一个分量 $ u_3 $ 在临界贝索夫空间中有界，而水平分量 $ u_h $ 在 $ BMO^{-1} $ 中有界时，是否能保证三维纳维-斯托克斯解的全局正则性？
• RQ2 在 $ u_h(T) \in VMO^{-1} $ 且 $ u_3 \in L^\infty(0,T;\dot{B}^{-1+3/p}_{p,q}) $ 的条件下，是否足以将光滑解延拓至时间 $ T $ 之后？
• RQ3 能否建立一个新的内部正则性准则，允许一个分量在尺度不变范数下较大，同时仍能保证正则性？
• RQ4 当 $ u_3 $ 在爆破极限中消失时，其结构特性为何？这些特性能否用于排除奇点？
• RQ5 能否通过允许 $ u_h \in BMO^{-1} $ 且 $ u_3 \in \dot{B}^{-1+3/p}_{p,q} $ 的方式，改进经典的 $ L^\infty(0,T;L^3) $ 准则？

主要发现

• 若 $ u_3 \in L^\infty(0,T;\dot{B}^{-1+3/p}_{p,q}) $ 且 $ u_h \in L^\infty(0,T;BMO^{-1}) $，且满足 $ u_h(T) \in VMO^{-1} $，则解 $ u $ 可被延拓至 $ T $ 之后，该结果改进了加拉格尔、科赫与普朗松的结果。
• 潜在奇解的爆破极限 $ v $ 满足 $ v_3 = 0 $ 且满足简化系统 $ \partial_t v_h - \Delta v_h + v_h \cdot \nabla_h v_h + \nabla_h \pi = 0 $，$ \partial_{x_3}\pi = 0 $，其结构与二维纳维-斯托克斯方程相似。
• 水平分量的涡量 $ w_h $ 满足方程 $ \partial_t w_h - \Delta w_h + v_h \cdot \nabla_h w_h = 0 $，从而可基于 $ L^2 $ 能量估计控制 $ \|w_h\|_{L^\infty_t L^2_x} $ 在更小的抛物柱体内。
• 垂直导数 $ d = \partial_3 v_h $ 满足输运-扩散方程，通过能量估计可控制 $ \|d\|_{L^\infty_t L^2_x} $，从而在 $ Q_{1/4} $ 内得到 $ \|\nabla v_h\|_{L^\infty_t L^2_x} \leq C(M) $。
• 该结果意味着 $ u \in C_w([0,T]; BMO^{-1}) $，因此 $ u(T) $ 在 $ VMO^{-1} $ 中有定义，且由于 $ u_3 $ 在局部尺度不变范数下较小，解保持正则性。
• 新准则允许两个分量在各自尺度不变范数下较大，只要 $ u_3 $ 在 $ L^1(Q_1) $ 中较小，这相比经典内部正则性条件有显著放松。