[论文解读] Blow-up of solutions of critical elliptic equations in three dimensions

Rupert L. Frank, Tobias König+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 27被引用 2

一句话总结

该论文确定了三维临界椭圆方程在临界势 $a$ 下正解的精确爆破速率和集中点位置，证实了Brézis与Peletier的猜想。在非退化条件下，证明了方程 $-\Delta u + a u = 3u^{5-\varepsilon}$ 和 $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$ 的解在正则部分格林函数为零的点处精确集中，爆破速率为 $\varepsilon^{-1/2}$，且集中于 $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ 的零点集，即格林函数正则部分的对角线。

ABSTRACT

We describe the asymptotic behavior of positive solutions $u_\epsilon$ of the equation $-\Delta u + au = 3\,u^{5-\epsilon}$ in $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ with a homogeneous Dirichlet boundary condition. The function $a$ is assumed to be critical in the sense of Hebey and Vaugon and the functions $u_\epsilon$ are assumed to be an optimizing sequence for the Sobolev inequality. Under a natural nondegeneracy assumption we derive the exact rate of the blow-up and the location of the concentration point, thereby proving a conjecture of Br\'ezis and Peletier (1989). Similar results are also obtained for solutions of the equation $-\Delta u + (a+\epsilon V) u = 3\,u^5$ in $\Omega$.

研究动机与目标

• 解决Brézis与Peletier（1989年）关于三维临界椭圆方程在非零临界势 $a$ 下解的爆破行为的第三个猜想。
• 在临界势 $a$ 存在的情况下，建立Sobolev不等式极小化序列的精确渐近行为——特别是爆破速率与集中点。
• 将分析扩展至扰动方程 $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$，在相同非退化条件下证明类似的爆破结果。
• 将集中集表征为 $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ 的零点集，即与 $-\Delta + a$ 相关的格林函数正则部分的对角线。
• 在非退化假设下，通过渐近展开与椭圆正则性理论，严格证明精确爆破速率 $\varepsilon^{-1/2}$ 及其在 $\varphi_a$ 的临界点处的集中位置。

提出的方法

• 利用格林函数及其正则部分 $H_a(x,y)$ 的渐近展开，特别是靠近对角线 $x=y$ 的区域，分析 $\varepsilon \to 0$ 时解的行为。
• 应用匹配渐近展开法与解族 $u_{\varepsilon}$ 的精确点态估计，假设其为Sobolev不等式的极小化序列。
• 采用Aubin-Talenti泡解的显式形式 $U_{x,\lambda}(y) = \lambda^{1/2}/(1 + \lambda^2|y-x|^2)^{1/2}$ 作为爆破轮廓的模型。
• 依赖于临界势 $a$ 的定义，即通过瑞利商的下确界 $S(a) = \inf_{z \in H^1_0(\Omega)} \frac{\int_\Omega (|\nabla z|^2 + a z^2)}{\left(\int_\Omega z^6\right)^{1/3}}$，并满足 $S(a) = S$，即最优Sobolev常数。
• 利用椭圆正则性理论证明函数 $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ 的 $C^2$-光滑性，这对于刻画集中集至关重要。
• 在泡解附近实施扰动分析，通过 $\lambda^{-1/2}$ 的幂级数精确展开，计算涉及 $u_\varepsilon^5$、$u_\varepsilon^4 B_\lambda u_\varepsilon$ 等积分的主导项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 中，正解 $u_\varepsilon$ 满足 $-\Delta u + a u = 3u^{5-\varepsilon}$，当 $\varepsilon \to 0$ 时，其精确爆破速率为何？假设 $u_\varepsilon$ 是Sobolev不等式的极小化序列。
• RQ2 解 $u_\varepsilon$ 在 $\Omega$ 中的确切集中位置在哪里？是否位于正则部分格林函数 $H_a(x,x)$ 的零点集上？
• RQ3 在势中引入扰动 $\varepsilon V$，即方程 $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$，与仅含 $a$ 的情形相比，爆破行为有何变化？
• RQ4 Brézis与Peletier关于三维临界 $a$ 下爆破轮廓与位置的猜想能否被严格证实？
• RQ5 在 $\varphi_a$ 的零点集上，非退化条件在确保爆破轮廓的唯一性与精确性方面起什么作用？

主要发现

• 方程 $-\Delta u + a u = 3u^{5-\varepsilon}$ 的解 $u_\varepsilon$ 的爆破速率为 $\varepsilon^{-1/2}$，集中点位于 $\Omega$ 中满足 $\varphi_a(x_0) = 0$ 的点 $x_0$ 处。
• 解精确集中于函数 $\varphi_a(x) = H_a(x,x)$ 的零点集 $N_a = \{x \in \Omega : \varphi_a(x) = 0\}$，即 $-\Delta + a$ 的格林函数正则部分的对角线。
• 对于扰动方程 $-\Delta u + (a + \varepsilon V)u = 3u^5$，爆破速率仍为 $\varepsilon^{-1/2}$，且集中于同一零点集 $N_a$，前提是 $a$ 为临界势且非退化条件成立。
• $\varphi_a(x)$ 在 $\Omega$ 上具有 $C^2$-光滑性，其零点集 $N_a$ 恰好为正则部分格林函数为零的点集。
• 解 $u_\varepsilon$ 在其集中点附近的主导渐近展开由Aubin-Talenti泡解 $U_{x_0,\lambda}$ 决定，其中 $\lambda \sim \varepsilon^{-1/2}$，且集中轮廓由 $\varphi_a$ 在 $x_0$ 处的Hessian矩阵决定。
• 非退化条件——即在零点 $x_0$ 处 $\nabla \varphi_a(x_0) \neq 0$ 且 $\text{Hess}\, \varphi_a(x_0)$ 非退化——确保了爆破是孤立的且速率是精确的。