[论文解读] Blow up profiles for a reaction-diffusion equation with critical weighted reaction

Razvan Gabriel Iagar, Ariel Sánchez|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 27被引用 15

一句话总结

本文研究了带临界加权反应项 $ u_t = (u^m)_{xx} + |x|^\sigma u^m $ 的反应-扩散方程的自相似爆破形态，表明当 $ \sigma > 0 $ 较小时，存在多个在有限点具有界面的紧支集爆破形态；而当 $ \sigma $ 较大时，此类形态不存在。关键结果是由于权重的影响，存在一个精确的临界转变，且对任意 $ \sigma > 0 $，均不存在在整个实轴上为正的全局空间爆破形态。

ABSTRACT

We classify the blow up self-similar profiles for the following reaction-diffusion equation with weighted reaction $$ u_t=(u^m)_{xx} + |x|^{\sigma}u^m, $$ posed for $(x,t)\in eal imes(0,T)$, with $m>1$ and $\sigma>0$. In strong contrast with the well-studied equation without the weight (that is $\sigma=0$), on the one hand we show that for $\sigma>0$ sufficiently small there exist \emph{multiple self-similar profiles with interface} at a finite point, more precisely, given any positive integer $k$, there exists $\delta_k>0$ such that for $\sigma\in(0,\delta_k)$, there are at least $k$ different blow up profiles with compact support and interface at a positive point. On the other hand, we also show that for $\sigma$ sufficiently large, the blow up self-similar profiles with interface \emph{cease to exist}. This unexpected balance between existence of multiple solutions and non-existence of any, when $\sigma>0$ increases, is due to the effect of the presence of the weight $|x|^{\sigma}$, whose influence is the main goal of our study. We also show that for any $\sigma>0$, there are no blow up profiles supported in the whole space, that is with $u(x,t)>0$ for any $x\in eal$ and $t\in(0,T)$.

研究动机与目标

• 理解无界权重 $ |x|^\sigma $ 如何改变反应-扩散方程中 $ m = p $ 情形下的爆破行为，与无权重情形进行对比。
• 对方程 $ u_t = (u^m)_{xx} + |x|^\sigma u^m $ 的自相似爆破形态进行分类，特别是具有紧支集且在有限点具有界面的形态。
• 根据参数 $ \sigma $ 确定具有界面的优良形态的存在性与非存在性，并识别临界阈值。
• 证明对任意 $ \sigma > 0 $，均不存在在整个实轴上为正的爆破形态，从而排除全局支集的可能性。
• 分析关联常微分方程的相空间结构，以确定解在 $ \xi = 0 $ 附近及界面点处的行为。

提出的方法

• 采用形式为 $ u(x,t) = (T - t)^{-\alpha} f(\xi) $ 的自相似解，其中 $ \xi = |x|(T - t)^\beta $，将偏微分方程约化为关于形态 $ f $ 的常微分方程。
• 推导出控制自相似形态的常微分方程 $ (f^m)''(\xi) - \frac{1}{m-1}f(\xi) + \xi^\sigma f^m(\xi) = 0 $。
• 对等价的一阶系统应用相空间分析，研究解在 $ \xi = 0 $ 附近及在满足 $ f(\eta) = (f^m)'(\eta) = 0 $ 的界面点处的行为。
• 利用比较论证和能量型估计，界定解曲线在相空间中与双曲线 $ (m-1)Y + \sigma X = 0 $ 的首次交点。
• 从原点进行前向射击，从界面点进行后向射击，以估计形态可能连接的 $ \xi $ 范围。
• 建立一个定量阈值 $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $，当超过该值时，前向与后向射击轨迹无法相遇，从而证明界面形态的非存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 权重 $ |x|^\sigma $ 的存在如何影响具有紧支集和在有限点具有界面的自相似爆破形态的存在性与多重性？
• RQ2 在何种 $ \sigma $ 的临界值以上，不再存在具有界面的自相似形态？该阈值如何依赖于 $ m $？
• RQ3 为何此类形态的数量随 $ \sigma $ 减小而增加？其背后的机制是什么？
• RQ4 是否存在在整个 $ \mathbb{R} $ 上为正的自相似爆破形态？若否，原因是什么？
• RQ5 随着 $ \sigma $ 变化，控制形态 $ f $ 的常微分方程的相空间结构如何变化？这对解的行为有何含义？

主要发现

• 对任意 $ \sigma > 0 $，均不存在在整个实轴上为正的自相似爆破形态，即不存在全局空间爆破形态。
• 当 $ \sigma $ 足够小时，具体而言 $ \sigma \in (0, \delta_k) $，其中 $ k \in \mathbb{N} $ 为任意给定自然数，至少存在 $ k $ 个不同的具有紧支集且在正点具有界面的自相似形态。
• 当 $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ 时，不存在具有界面的自相似形态，表明由于权重的影响，解结构存在一个精确的临界转变。
• 从原点射击时，形态与相空间中临界双曲线的首次交点发生在 $ \xi \leq \xi_+ = \left[ \frac{4m^2(m+1)}{(2m+1)(m-1)^3} \right]^{1/(\sigma+2)} $。
• 从界面点后向射击时，与双曲线的最后一次交点发生在 $ \xi \geq \xi_- = \left[ \frac{(m+1)\sigma^2}{2m(m-1)^3} \right]^{1/(\sigma+2)} $。
• 当 $ \xi_- > \xi_+ $ 时，即当 $ \sigma > 2m\sqrt{2m/(2m+1)} $ 时，前向与后向轨迹无法相遇，从而证明大 $ \sigma $ 情形下界面形态的非存在性。