[论文解读] Blow-up solutions for a Kirchhoff type elliptic equation with trapping potential

Helin Guo, Yimin Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文证明了在具有束缚势的非局部Kirchhoff型椭圆方程中，归一化$L^2$-范数解的存在性，证明了当$p < 8/N$时，对所有$β > 0$，极小化子均存在，并分析了当$p \nearrow 8/N$时其爆破行为。关键贡献在于，对所有$p \in (0, 8/N)$，显式导出了存在性的临界阈值$β^*$，揭示了与$V \equiv 0$情形相比，束缚势从根本上改变了解的结构，后者的存在性取决于$β$是否足够大。

ABSTRACT

We study a generalized Kirchhoff type equation with trapping potential. The existence and blow-up behavior of solutions with normalized L2-norm for this problem are discussed.

研究动机与目标

• 将归一化$L^2$-范数解的存在性与渐近分析结果从局部情形（$b=0$）扩展到具有束缚势$V(x) \geq 0$的非局部Kirchhoff型方程（$b>0$）
• 确定非零束缚势的存在是否从根本上改变了与$V \equiv 0$情形相比的解的存在性与爆破行为
• 为临界阈值$\beta^*$推导出显式表达式，使得对于所有$p \in (0, 8/N)$和$1 \leq N \leq 4$，约束能量泛函的极小化子存在当且仅当$\beta > \beta^*$
• 分析当$p \nearrow p^* = 8/N$时极小化子的爆破轮廓，表明解在$V(x) = 0$的点处集中

提出的方法

• 将问题表述为在满足$\|u\|_{L^2} = 1$的函数集合$S_1$上对能量泛函$E_p^\beta(u)$进行约束变分最小化，采用约束变分法
• 应用Schwarz对称化以简化能量泛函，并建立极小化子的径向对称性
• 通过能量估计并比较极限问题来分析当$p \nearrow 8/N$时的爆破行为，使用缩放$\overline{w}_p(x) = \epsilon_p^{N/2} u_p(\epsilon_p x + \epsilon_p \overline{y}_{\epsilon_p})$
• 利用Fatou引理和$V(x)$在无穷远处的衰减性质，证明集中点$z_0$必须满足$V(z_0) = 0$，表明爆破发生在势阱最小值处
• 推导出缩放极小化子的渐近极限$\overline{w}_0$，其满足包含$-b\Delta \overline{w}_0 = -\frac{b(4-N)}{2N}\overline{w}_0 + \beta^* \overline{w}_0^{p^*+1}$的极限方程，并证明其在平移下唯一性
• 证明当$V(x) \not\equiv 0$时，对所有$\beta > 0$均存在极小化子，与$V \equiv 0$情形下存在性依赖于$\beta > \beta^*$形成鲜明对比

实验结果

研究问题

• RQ1 与$V \equiv 0$情形相比，非零束缚势$V(x)$的存在是否改变了非局部Kirchhoff方程中归一化解的存在阈值$\beta^*$？
• RQ2 当$p \nearrow 8/N$时，极小化子的精确渐近行为是什么？极限下解在何处集中？
• RQ3 能否为所有$p \in (0, 8/N)$（包括先前方法失效的范围$p \in (4/N, 8/N)$）推导出$\beta^*$的显式表达式？
• RQ4 解的爆破轮廓如何与势$V(x)$的几何结构相关，特别是其最小值位置？
• RQ5 在爆破极限下，极小化子是否在平移下唯一？极限轮廓满足何种方程？

主要发现

• 当$V(x) \not\equiv 0$时，约束极小化问题$d_\beta(p) = \inf_{u \in S_1} E_p^\beta(u)$对所有$\beta > 0$和所有$p \in (0, 8/N)$均存在极小化子，与$V \equiv 0$情形下存在性依赖于$\beta > \beta^*$形成鲜明对比
• 为所有$p \in (0, 8/N)$推导出了临界阈值$\beta^*$的显式表达式，扩展了先前仅限于$p \in (0, 4/N]$的结果，且对$1 \leq N \leq 4$成立
• 当$p \nearrow 8/N$时，极小化子$u_p$在满足$V(z_0) = 0$的点$z_0$处集中，且缩放轮廓$\overline{w}_p$在$H^1(\mathbb{R}^N)$中收敛到唯一的正解$\overline{w}_0$（在平移下）
• 极限轮廓$\overline{w}_0$满足方程$-b\Delta \overline{w}_0 = -\frac{b(4-N)}{2N}\overline{w}_0 + \beta^* \overline{w}_0^{p^*+1}$，该方程为修正的非线性Schrödinger型方程
• 能量差$d_\beta(p) - \widetilde{d}_\beta(p)$在$p \nearrow p^*$时趋于零，表明极小化子的能量趋近于极限问题的能量
• 集中点$\epsilon_p \overline{y}_{\epsilon_p}$保持有界并收敛到满足$V(z_0) = 0$的点$z_0$，证明爆破精确发生于势能最小值处