[论文解读] Blow-up solutions of nonlinear elliptic equations in R^n with critical exponent

Man Chun Leung|ArXiv.org|Feb 23, 2002

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 17

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上构造了临界指数非线性椭圆方程 $\Delta u + n(n-2)Ku^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ 的光滑正解，其中 $K$ 任意接近 1，展示了在原点附近不具有缓慢衰减性质的爆破解。关键结果是针对 $n > 4$，对 C.-S. 林猜想和 Taliaferro 猜想提出了反例，表明即使 $K$ 几乎为常数，此类爆破解依然存在。

ABSTRACT

For an integer $n \ge 3$ and any positive number $ε$ we establish the existence of smooth functions K on $R^n \setminus \{0 \}$ with $|K - 1| \le ε$, such that the equation $Δu + n (n - 2) K u^{{n + 2}\over {n - 2}} = 0$ in $R^n \setminus \{0 \}$ has a smooth positive solution which blows up at the origin (i.e., u does not have slow decay near the origin). Furthermore, we show that in some cases K can be extended as a Lipschitz function on ${\R}^n.$ These provide counter-examples to a conjecture of C.-S. Lin when n > 4, and Taliaferro's conjecture.

研究动机与目标

• 研究临界指数椭圆方程 $\Delta u + n(n-2)Ku^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上正光滑解的存在性，其中 $K$ 接近 1。
• 确定此类解是否可能在原点附近不具有缓慢衰减，从而与关于衰减行为的猜想相矛盾。
• 为 C.-S. 林猜想提供反例，即 $K$ 的 Hölder 连续性是否蕴含缓慢衰减；并为 Taliaferro 关于有界 $K$ 下衰减的猜想提供反例。
• 探讨扰动项 $K$ 是否可作为 $\mathbb{R}^n$ 上的 Lipschitz 函数扩展，同时仍允许存在爆破解。
• 分析当 $K$ 不恒等于 1 时解的渐近行为，特别是在高维 $n > 4$ 的情形。

提出的方法

• 通过叠加修改后的 Delaunay-Fowler 型解与标准泡解，利用其周期性及在 Kelvin 变换下的对称性，构造爆破解。
• 在原点附近的小球上使用剪切-粘合拼接技术，偏移解的中心，以避免缓慢衰减。
• 利用渐近展开与比较估计，控制修改后解与标准泡解之间的差异，确保 $|K - 1| \leq \varepsilon$。
• 应用能量估计与解差 $v_T$ 和 $v_s$ 的 $L^\infty$ 估计，证明所得 $K$ 接近 1 且光滑。
• 在特定条件下，通过设定 $K(0) = 1$，证明所得 $K$ 可作为 $\mathbb{R}^n$ 上的 Lipschitz 函数扩展。
• 利用微分不等式与 $v_T$ 和 $v_s$ 的导数有界性，控制曲率函数 $K$ 的误差，证明 $|\breve{K}'(t)| \leq C(D)\eta_T^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $K$ 光滑且满足 $|K - 1| \leq \varepsilon$（$\varepsilon > 0$ 任意小）时，临界椭圆方程的爆破解是否仍存在？
• RQ2 即使 $K$ 几乎为常数，解的缓慢衰减是否仍不成立，从而与 $K$ 的正则性下衰减行为的猜想相矛盾？
• RQ3 此类爆破解是否可构造为 $K$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上为 Lipschitz 函数？
• RQ4 C.-S. 林猜想是否成立：即当 $n > 4$ 时，Hölder 连续的 $K$ 是否蕴含缓慢衰减？
• RQ5 通过标准泡解与周期性 Delaunay 型解的叠加，是否可控制解的渐近行为？

主要发现

• 本文在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上构造了 $\Delta u + n(n-2)Ku^{\frac{n+2}{n-2}} = 0$ 的光滑正解，满足对任意 $\varepsilon > 0$ 有 $|K - 1| \leq \varepsilon$，并展示了在原点处的爆破行为。
• 为 C.-S. 林猜想提供了反例，即 Hölder 连续的 $K$ 并不蕴含缓慢衰减，当 $n > 4$ 时该结论不成立。
• 通过构造一个 $K$ 有正下界和上界且满足 $b/a < 2^{2/(n-2)}$ 的解，推翻了 Taliaferro 猜想，该解仍表现出爆破行为。
• 在特定几何构造下，可通过设定 $K(0) = 1$ 将所得 $K$ 扩展为 $\mathbb{R}^n$ 上的 Lipschitz 函数。
• 构造确保曲率函数 $K$ 光滑且在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上满足 $|K - 1| \leq \varepsilon$，且在 $L^\infty$ 范数下 $K$ 接近 1。
• 该方法得到 $|\breve{K}'(t)| \leq C(D)\eta_T^2$ 对 $t \in [D, 2D]$ 成立，表明 $K$ 是 Lipschitz 连续且导数受控。