[论文解读] Blow ups and blow downs of quasitoric orbifolds and toric varieties

Koushik Brahma, Soumen Sarkar+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文研究由简单多面体与R-特征函数定义的拟环丛轨道丛的爆破与反爆破，表明在温和条件下，这些运算保持整上同调的无挠性质。本文建立多面体楔积构造是反爆破的特例，并构造了一个无限族拟环丛轨道丛，其整上同调中无(p-)挠。

ABSTRACT

In this paper, we recall the concept of the retraction sequence of simple polytope $Q$ and discuss the effects of blow ups and blow downs on its retraction sequences. We introduce new quasitoric orbifolds by the blow ups and blow downs of a quasitoric orbifold $X(Q,\lambda)$ where $\lambda$ is an $\mathcal{R}$-characteristic function defined on the facets of the simple polytope. Then we show that under mild hypothesis, no new torsion arises in the integral homology/cohomology of blow ups and blow downs of a quasitoric orbifold. We also show that polytopal wedge construction is a particular case of blow down. This article provides an infinite collection of quasitoric orbifolds with no ($p$-)torsion in their integral cohomology.

研究动机与目标

• 分析爆破与反爆破对简单多面体收缩序列的影响。
• 通过在具有R-特征函数的X(Q,λ)上进行爆破与反爆破运算，构造新的拟环丛轨道丛。
• 建立此类轨道丛的整上同调中不出现新挠元的条件。
• 证明多面体楔积构造是反爆破运算的特例。
• 通过这些运算生成一个无限族整上同调无挠（p-挠）的拟环丛轨道丛。

提出的方法

• 利用简单多面体Q的收缩序列，分析爆破与反爆破带来的拓扑变化。
• 在Q的面 facet 上应用R-特征函数λ，以定义拟环丛轨道丛X(Q,λ)。
• 在多面体的顶点或面处执行爆破与反爆破运算，以构造新的轨道丛。
• 分析这些运算对整上同调的影响，特别关注挠元。
• 证明在温和假设下，此类运算后上同调仍保持无挠。
• 表明多面体楔积构造是反爆破过程的一个具体实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 爆破与反爆破如何影响简单多面体的收缩序列？
• RQ2 在何种条件下，拟环丛轨道丛的爆破与反爆破运算能保持整上同调无挠？
• RQ3 多面体楔积构造能否被解释为反爆破运算的特例？
• RQ4 可通过这些运算生成哪些无限族的拟环丛轨道丛，其上同调中无(p-)挠？
• RQ5 R-特征函数λ如何影响这些变换下的拓扑不变量？

主要发现

• 在温和假设下，拟环丛轨道丛的爆破与反爆破运算保持整上同调无挠。
• 多面体楔积构造被识别为反爆破运算的特例。
• 构造了一个无限族整上同调中无(p-)挠的拟环丛轨道丛。
• 表明爆破与反爆破运算对底层简单多面体的收缩序列产生受控影响。
• R-特征函数λ在这些运算后仍与拓扑结构相容。
• 结果扩展了已知的整上同调无挠的拟环丛轨道丛的例子类别。