[论文解读] Blow-ups and resolutions of strong Kähler with torsion metrics

Anna Fino, Адриано Томассини|ArXiv.org|Apr 2, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文研究了强凯勒流形（强KT）结构在复变形、爆破和解析化下的行为。建立了强KT度量的三浦型延拓定理，证明若一个复流形去掉一点后存在强KT度量，则整个流形也存在强KT度量。主要贡献在于证明了具有强KT度量的复轨道丛可通过迭代爆破实现强KT解析化，从而构造出新的紧致单连通强KT流形。

ABSTRACT

On a compact complex manifold we study the behaviour of strong Kähler with torsion (strong KT) structures under small deformations of the complex structure and the problem of extension of a strong KT metric. In this context we obtain the analogous result of Miyaoka extension theorem. Studying the blow-up of a strong KT manifold at a point or along a complex submanifold, we prove that a complex orbifold endowed with a strong KT metric admits a strong KT resolution. In this way we obtain new examples of compact simply-connected strong KT manifolds.

研究动机与目标

• 研究强KT结构在复结构的小变形下的稳定性。
• 探究在流形去掉一点后存在强KT度量时，该度量是否可延拓至整个流形。
• 确定沿复子流形爆破强KT流形后是否仍保持强KT条件。
• 建立具有强KT度量的复轨道丛的强KT解析化存在性。
• 通过奇点解析化构造新的紧致单连通强KT流形。

提出的方法

• 利用具有斜扭曲率的典范赫米特联络理论，通过条件 ∂∂̄F = 0 来刻画强KT度量。
• 应用文献[1]中关于正电流与拟凸电流的结果，将强KT度量跨孤立奇点延拓。
• 运用平野的解析定理，构造有限步爆破序列，以解析具有强KT度量的复轨道丛。
• 分析爆破过程中基本2-形式F的行为以及群作用下的性质，证明在尼尔流形上的有限群作用下保持不变性。
• 通过尼尔流形及其商流形上的调和形式计算，计算贝蒂数并验证解析化后的拓扑简单性。
• 应用诺米祖定理计算尼尔流形及其商流形的贝蒂数，比较解析化前后的贝蒂数差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复维数 ≥3 的紧致复流形上，强KT条件在复结构的小变形下是否保持不变？
• RQ2 若复流形去掉一点后存在强KT度量，该度量是否可延拓至整个流形？
• RQ3 沿复子流形爆破强KT流形后，结果是否仍为强KT流形？
• RQ4 能否通过有限步爆破序列将赋予强KT度量的复轨道丛解析为紧致强KT流形？
• RQ5 通过有限群作用在尼尔流形上构造的强KT轨道丛的解析化，是否产生紧致单连通强KT流形？

主要发现

• 强KT条件在复维数 ≥3 的紧致复流形上不具有在复结构小变形下的稳定性，如在伊瓦沙瓦流形上所示。
• 强KT度量存在三浦型延拓定理：若 M\{p} 具有强KT度量，则 M 也具有强KT度量。
• 沿紧致复子流形爆破强KT流形后，结果仍为强KT流形。
• 每个具有强KT度量的复轨道丛，均可通过有限步爆破序列实现强KT解析化。
• 通过有限群作用在尼尔流形上构造的强KT轨道丛的解析化，产生紧致单连通强KT流形，其贝蒂数显著降低：在第一个例子中 b₁ 从 7 降至 1，在第二个例子中从 6 降至 1。