[论文解读] Blow-ups of $\mathbb{P}^{n-3}$ at $n$ points and spinor varieties

Bernd Sturmfels, Mauricio Velasco|ArXiv.org|Jun 27, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过斜对称矩阵的Pfaffian生成元，建立了$\mathbb{P}^{n-3}$在$n$个一般点处的Blow-up的Cox环与偶数自旋簇之间的几何联系。证明了Cox理想由自旋理想在环面作用下的平移生成，为Serganova-Skorobogatov关于del Pezzo曲面的工作提供了高维推广，且在$n \leq 8$时通过计算验证了等式成立。该构造利用模空间上的有理函数对自旋理想进行缩放，将Cox环嵌入到自旋簇中。

ABSTRACT

Work of Dolgachev and Castravet-Tevelev establishes a bijection between the $2^{n-1}$ weights of the half-spin representations of $\mathfrak{so}_{2n}$ and the generators of the Cox ring of the variety $X_n$ which is obtained by blowing up $\mathbb{P}^{n-3}$ at $n$ points. We derive a geometric explanation for this bijection, by embedding ${ m Cox}(X_n)$ into the even spinor variety (the homogeneous space of the even half-spin representation). The Cox ring of the blow-up $X_n$ is recovered geometrically by intersecting torus translates of the even spinor variety. These are higher-dimensional generalizations of results by Derenthal and Serganova-Skorobogatov on del Pezzo surfaces.

研究动机与目标

• 为$X_n$的Cox环的$2^{n-1}$个生成元与$\mathfrak{so}_{2n}$的半自旋表示的权之间的双射提供几何解释。
• 将Serganova与Skorobogatov在del Pezzo曲面上采用的表示论方法推广到$\mathbb{P}^{n-3}$在$n$个点处的高维Blow-up。
• 将$X_n$的Cox环的谱嵌入到$\bigwedge^{\text{even}}W$中的偶数自旋簇$S^+$内。
• 证明Cox理想$I_X$由环面平移的自旋理想$I_{\text{spin}}$生成，且等式猜想成立，并在$n \leq 8$时通过计算验证。

提出的方法

• 作者构造了$n \times n$的斜对称矩阵，其子Pfaffian生成了$X_n$的Cox环，从而将其与自旋簇联系起来。
• 他们利用Okada恒等式将Pfaffian生成元与Castravet-Tevelev定义的Cox环的行列式生成元联系起来。
• 证明Cox理想$I_X$包含环面平移的和$\sum_{c \in \mathcal{G}(p)} a(c) \star I_{\text{spin}}$，其中$a(c)$是点构型模空间上的有理函数。
• 该构造使用由$X_n$的Picard群细化的多乘法格，其度数由$[n]$的偶子集的$D_n$-轨道索引。
• 构造了$I_{\text{spin}}$的二次Gröbner基，从而能够显式计算Cox环中二次关系。
• 通过Macaulay2的计算验证表明，对于$n \leq 8$，有$I_X = I_{\text{spin}} + a(c) \star I_{\text{spin}}$，其中$c \in \mathcal{G}(p)$取单个值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为$X_n$的Cox环的$2^{n-1}$个生成元与$\mathfrak{so}_{2n}$的半自旋表示的权之间的双射提供几何解释？
• RQ2 del Pezzo曲面的通用torsor构造能否推广到$\mathbb{P}^{n-3}$在$n$个点处的高维Blow-up？
• RQ3 $X_n$的Cox理想$I_X$是否由环面平移的自旋理想$I_{\text{spin}}$生成？
• RQ4 点构型的模空间在参数化这些环面作用中起着怎样的精确作用？
• RQ5 能否通过与系统发育树相关的Plücker单项式的退化来理解$I_X$的二次生成？

主要发现

• $X_n$的Cox环的谱嵌入到$\bigwedge^{\text{even}}W$中的偶数自旋簇$S^+$内，为Cox环提供了几何实现。
• $I_X$包含环面平移的和$\sum_{c \in \mathcal{G}(p)} a(c) \star I_{\text{spin}}$，其中$a(c)$是点构型模空间上的有理函数。
• 对于$n \leq 8$，存在$c \in \mathcal{G}(p)$使得等式$I_X = I_{\text{spin}} + a(c) \star I_{\text{spin}}$成立，通过Macaulay2计算验证。
• $k[\bigwedge^{\text{even}}W]$中不同二次多乘法度数的数量为$\lfloor n/2 \rfloor + 1$，其代表为$N_s = \deg(f_\emptyset f_{\{1,\dots,2s\}})$。
• 在多乘法度数$N_s$下的Cox环的分量维数为$2^{s-1}$（当$s > 0$时），如[17, 推论7.4]所示。
• 自旋理想$I_{\text{spin}}$由二次式生成，且显式构造了其二次Gröbner基，从而确认了其二次生成性。