[论文解读] Blow ups of $\mathbb{P^n}$ as quiver moduli for exceptional collections

Xuqiang Qin|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文表明，将 $\mathbb{P}^n$ 沿一个维度为 $m$ 的线性子空间进行爆破后，其结果同构于一个三顶点无关系的 quiver 的半稳定表示的模空间，利用了由三个线丛构成的强例外集列。该构造通过特定的稳定性条件将爆破实现为 quiver 模空间，并进一步证明，爆破收缩映射可通过改变稳定性条件作为模空间之间的态射而实现。

ABSTRACT

Suppose $P^n_m$ is the blow up of $\mathbb{P}^n$ at a linear subspace of dimension $m$, $\mathcal{L}=\{L_1,\ldots,L_r\}$ is a (not necessarily full) strong exceptional collection of line bundles on $P^n_m$. Let $Q$ be the quiver associated to this collection. One might wonder when is $P^n_m$ the moduli space of representations of $Q$ with dimension vector $(1,\ldots,1)$ for a suitably chosen stability condition $θ$: $S\cong M_θ$. In this paper, we achieve such isomorphism using $\mathcal{L}$ of length $3$. As a result, $P^n_m$ is the moduli space of representations of a very simple quiver. Moreover, we realize the blow up as morphism of moduli spaces for the same quiver.

研究动机与目标

• 确定 $\mathbb{P}^n$ 沿维度为 $m$ 的线性子空间的爆破何时可实现为维度向量为 $(1,1,1)$ 的 quiver 表示的模空间。
• 构造一个显式的 quiver 与稳定性条件，使得半稳定表示的模空间同构于爆破空间 $\mathbb{P}^n_m$。
• 通过改变稳定性条件，将自然的收缩映射 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$ 实现为 quiver 模空间之间的态射。
• 将 quiver 模空间的框架扩展至爆破空间上的非完整例外集列，提供一种非交换几何解释。

提出的方法

• 在 $\mathbb{P}^n_m$ 上构造一个由三个线丛构成的强例外集列：$\mathcal{O}$，$\mathcal{O}(H-E)$，和 $\mathcal{O}(H)$，其中 $H$ 是超平面类的拉回，$E$ 是例外除子。
• 将该集列关联到一个具有三个顶点的 quiver $Q$，其箭头对应于线丛之间的 Ext 群，从而得到一个无关系的 quiver。
• 定义一个稳定性条件 $\theta = (-p, p-q, q)$，其中 $p, q \in \mathbb{Z}_{>0}$ 且 $p < q$，以确保模空间 $M_\theta$ 是一个精细模空间。
• 利用爆破的普遍性质与例外集列的结构，证明从 $\mathbb{P}^n_m$ 到 $M_\theta$ 的典范有理映射 $T$ 是一个同构。
• 构造第二个稳定性条件 $\theta' = (-p, 0, p)$，以将 $\mathbb{P}^n$ 实现为模空间 $M_{\theta'}$，并证明表示上的恒等映射在下降后成为一个态射 $\pi': M_\theta \to M_{\theta'}$。
• 通过比较模空间的射影坐标，证明 $\pi'$ 与自然的爆破收缩态射 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\mathbb{P}^n$ 沿维度为 $m$ 的线性子空间的爆破 $\mathbb{P}^n_m$ 实现为维度向量为 $(1,1,1)$ 的 quiver 表示的模空间？
• RQ2 对于哪些稳定性条件 $\theta$，关联 quiver 的半稳定表示模空间 $M_\theta$ 同构于 $\mathbb{P}^n_m$？
• RQ3 能否通过改变稳定性条件，将爆破收缩态射 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$ 实现为 quiver 模空间之间的态射？
• RQ4 在 $\mathbb{P}^n_m$ 上，例外集列 $\{\mathcal{O}, \mathcal{O}(H-E), \mathcal{O}(H)\}$ 的结构如何促进此类模空间同构的构造？

主要发现

• 对于满足 $p, q \in \mathbb{Z}_{>0}$ 且 $p < q$ 的稳定性条件 $\theta = (-p, p-q, q)$，quiver $Q$ 的半稳定表示模空间 $M_\theta$ 同构于 $\mathbb{P}^n_m$。
• 从 $\mathbb{P}^n_m$ 到 $M_\theta$ 的典范有理映射 $T: \mathbb{P}^n_m \dashrightarrow M_\theta$ 是一个同构，该结论通过爆破的普遍性质与例外集列的结构得以确立。
• 对于稳定性条件 $\theta' = (-p, 0, p)$，模空间 $M_{\theta'}$ 同构于 $\mathbb{P}^n$，其坐标由 $x_1, \ldots, x_m, (x_{m+1}e), \ldots, (x_n e)$ 给出。
• 表示上的恒等映射在下降后成为态射 $\pi': M_\theta \to M_{\theta'}$，该态射同构于自然的爆破收缩态射 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$。
• 在 $M_{\theta'}$ 中，严格半稳定的表示对应于 $M_\theta$ 中的例外子簇 $C \cong \mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^{n-m-1}$，且其轨道闭包在 $M_{\theta'}$ 中坍缩为一个点，从而解释了收缩现象。
• 该 quiver $Q$ 无关系且结构最小化，使得模空间构造特别简洁高效，从而成功地将爆破实现为 quiver 模空间。