[论文解读] Blowing-up points on l.c. K. manifolds

Victor Vuletescu|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文通过代数几何中的曲率形式与单位分解等技术，提供了关于在一点上对局部共形凯勒（l.c.K.）流形进行爆破后仍保持l.c.K.结构的全新、严谨证明。关键结果确认了爆破流形可赋予l.c.K.度量，从而弥补了Tricceri及其他研究者早期证明中的漏洞。

ABSTRACT

It is a classical result, due to F. Tricceri, that the blow-up of a manifold of locally conformally Kähler (l.c.K. for short) type at some point is again of l.c.K. type. However, the proof given in \cite{Tric} is somehow unclear. We give a different argument to prove the result, using "standard tricks" in algebraic geometry

研究动机与目标

• 提供关于点爆破下l.c.K.结构稳定性的严谨且清晰的证明，纠正Tricceri原始论证中的漏洞。
• 确立在任意点上对紧或非紧l.c.K.流形进行爆破后，其仍为l.c.K.型。
• 使用标准代数几何工具——如全纯线丛、曲率形式与单位分解——在爆破流形上构造出明确定义的l.c.K.度量。
• 展示原始度量的Lee形式可通过光滑截断函数修改，使其在例外除子邻域内消失，从而实现新l.c.K.度量的构造。

提出的方法

• 通过标准几何方法构造爆破流形 $\widehat{X}$：利用关系 $x_i y_j = x_j y_i$ 将 $\widehat{U} \subset U \times \mathbb{P}^{n-1}$ 进行粘合。
• 利用单位分解 $\varrho_1, \varrho_2$ 将 $U_{2\varepsilon}$ 内与 $U_{2\varepsilon}$ 外的局部度量组合，定义全纯线丛 $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 上的Hermitian度量 $h$。
• 计算 $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 上典范联络的曲率 $\Omega_E$，证明其在例外除子 $E$ 上为负定，且在邻域 $U$ 外为零。
• 通过爆破映射 $c: \widehat{X} \to X$ 拉回原始l.c.K.度量的Kähler形式 $\omega$，得到 $c^*(\omega)$，并利用光滑函数 $f$ 修改为 $\omega' = e^f c^*(\omega)$，使得 $d\omega' = \theta' \wedge \omega'$ 且 $\theta' \equiv 0$ 在 $E$ 附近。
• 对足够大的 $N$ 构造一个新的 $(1,1)$-形式 $h = N\omega' - \Omega_E$，利用 $\omega'$ 与 $\Omega_E$ 在互补区域的消失性，证明 $h$ 在 $\widehat{X}$ 上处处正定。
• 利用 $\theta' \wedge \Omega_E = 0$（因具有不相交支集）的事实，验证 $h$ 满足l.c.K.条件：$dh = \theta' \wedge h$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一点上对局部共形凯勒流形进行爆破是否保持l.c.K.结构？
• RQ2 能否使用标准代数几何工具在爆破流形上显式构造出新的l.c.K.度量？
• RQ3 原始度量的Lee形式是否可通过光滑截断函数实现，在例外除子邻域内消失？
• RQ4 能否利用例外除子上自然线丛的曲率来构造一个正定形式，以稳定l.c.K.条件？
• RQ5 在紧性假设下或对非紧流形，l.c.K.类在爆破下的稳定性是否依然稳健？

主要发现

• 在任意点上对局部共形凯勒流形进行爆破后，其可赋予局部共形凯勒度量，从而确认了l.c.K.类在点爆破下的稳定性。
• 在爆破流形上构造的新l.c.K.度量为 $h = N\omega' - \Omega_E$，其中 $\omega'$ 是原始Kähler形式的共形修改拉回，$\Omega_E$ 为例外除子丛的曲率。
• 曲率形式 $\Omega_E$ 在 $E$ 上为负定，且在紧邻域 $U$ 外为零，确保当 $N$ 足够大时 $h$ 全局正定。
• 新度量 $h$ 的Lee形式 $\theta'$ 在 $E$ 邻域内为零，简化了l.c.K.条件，并确保 $dh = \theta' \wedge h$ 在全局成立。
• 该构造依赖于单位分解与光滑截断函数，用于拼接 $\mathcal{O}_{\widehat{X}}(E)$ 上的局部度量，确保曲率形式行为良好且半定。
• 证明通过显式给出满足 $dh = \theta' \wedge h$ 的Hermitian度量 $h$，其中 $\theta'$ 为闭形式且 $h$ 正定，从而确立爆破流形 $\widehat{X}$ 属于l.c.K.型。