[论文解读] Blowup for the nonlinear heat equation with small initial data in scale-invariant Besov norms

Lorenzo Brandolese, Fernando Cortez|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 29被引用 6

一句话总结

该论文证明，对于非线性热方程 $ u_t = \Delta u + u^b $（其中 $ b \geq 2 $），初始数据在尺度不变的齐次Besov范数 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2, q}(\mathbb{R}^n) $ 中可任意小，仍可导致有限时间爆破解。通过使用频带局部化的初始数据及频域中的能量估计，作者证明该Besov空间中的小性条件不足以保证全局解的存在，从而表明早期全局可解性结果中所采用的小性假设是最优的。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem of the nonlinear heat equation $u_t -\\Delta u= u^{b},\\ u(0,x)=u_0$, with $b\\geq 2$ and $b\\in \\mathbb{N}$. We prove that initial data $u_0\\in \\mathcal{S}(\\mathbb{R}^{n})$ (the Schwartz class)arbitrarily small in the scale invariant Besov-norm$\\dot B^{-2/b}_{n(b-1) b/2,q}(\\mathbb{R}^{n})$, can produce solutions that blow up in finite time. The case $b=3$ answers a question raised by Yves Meyer.Our result also proves that the smallness assumption put in an earlier work by C. Miao, B.~Yuan and B. Zhang, for the global-in-time solvability, is essentially optimal.

研究动机与目标

• 研究尺度不变Besov范数中初始数据任意小时是否仍可在非线性热方程中导致有限时间爆破。
• 确定全局解存在性所需小性假设的精确性。
• 解决Yves Meyer关于非线性热方程中 $ b=3 $ 时爆破行为提出的问题。
• 证明在 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ 范数下的小性条件不足以保证全局解的存在，从而表明早期全局可解性结果的最优性。

提出的方法

• 构造具有紧致傅里叶支撑在二进环域中的频带局部化初始数据 $ u_N $，以控制范数大小并增强非线性效应。
• 利用Duhamel公式将解表示为热半群的扰动，重点关注非线性项的贡献。
• 通过卷积估计和时间上的指数衰减，估计频域中解的 $ L^2 $-范数。
• 基于频域中非线性项 $ L^2 $-范数的增长建立爆破准则。
• 通过递归构造具有递增波数的频带分量，确保非线性项随时间主导。
• 应用一个引理（引理4.2），将非线性项的增长与有限时间爆破联系起来，证明 $ T^*_N < \delta $ 对于小的 $ \delta $ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在尺度不变Besov空间 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ 中，初始数据可任意小时，是否仍可在非线性热方程 $ u_t = \Delta u + u^b $ 中导致有限时间爆破？
• RQ2 在 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-范数下的小性条件是否对全局解存在性而言是必要且充分的？
• RQ3 当 $ b=3 $ 时，该Besov空间中的小性是否仍允许爆破发生，从而解决Yves Meyer提出的问题？
• RQ4 Besov空间 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ 中的第三个指标 $ q $ 对爆破行为有何作用？
• RQ5 在 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-范数下的小性假设能否被放宽，还是其对全局解存在性而言是精确的？

主要发现

• 在尺度不变Besov空间 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ 中，初始数据可任意小时，对于 $ b \geq 2 $，仍可产生在有限时间内爆破的解。
• 即使初始数据属于施瓦茨类且其 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-范数可任意小，爆破仍会发生。
• 该结果表明，$ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-范数下的小性条件对全局解存在性而言本质上是最优的，与Miao、Yuan和Zhang早期的工作一致。
• 对于 $ b=3 $，本文正面回答了Yves Meyer关于该范数下小初始数据是否仍可导致爆破的问题。
• 证明依赖于构造初始数据，其频带支撑在二进环域中，使得非线性项随时间迅速增长，从而在时间 $ \delta/2 $ 前发生爆破。
• 通过频带局部化的能量估计及一个将非线性项增长与有限时间爆破联系起来的引理，建立了爆破准则。