[论文解读] Blowup of $H^1$ solutions for a class of the focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation

Van Duong Dinh|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文利用virial恒等式与Gagliardo-Nirenberg不等式，建立了当 $0 < b < \min\{2,d\}$ 且 $\alpha_{\star} \leq \alpha < \alpha^{\star}$ 时，聚焦型非齐次非线性Schrödinger方程的 $H^1$ 解的有限时间爆破。在质量临界情形（$\alpha = \alpha_{\star}$）下，对负能量初值数据，在径向或 $L^2(|x|^2dx)$ 加权条件下证明了爆破；并将Farah关于低于基态的爆破结果推广至 $H^1$ 初值数据，无需要求 $L^2(|x|^2dx)$ 可积性。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of the focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation \[ i\partial_t u + Δu + |x|^{-b} |u|^αu = 0, \quad u(0)=u_0 \in H^1(\mathbb{R}^d), \] with $0<b></b>

研究动机与目标

• 建立聚焦型非齐次非线性Schrödinger方程在质量临界与中间临界情形下 $H^1$ 解的有限时间爆破。
• 将此前针对径向初值数据的爆破结果拓展至virial空间 $H^1 \cap L^2(|x|^2dx)$ 之外，尤其针对低于基态的情形。
• 分析能量、质量以及Gagliardo-Nirenberg不等式在具有 $|x|^{-b}$ 结构的非齐次非线性项中对爆破动力学的影响。
• 提供解在有限时间内爆破的精确条件，即当能量为负或质量-能量分布低于基态时。

提出的方法

• 利用virial恒等式与精化估计，控制解的加权 $L^2$-范数的二阶导数。
• 应用带尖锐常数的Gagliardo-Nirenberg不等式，该常数与基态解 $Q$ 相关，用以比较解的范数与 $Q$ 的范数。
• 运用Pohozaev恒等式，将基态的能量与质量与其 $L^2$ 和 $H^1$ 范数联系起来。
• 引入一个带截断函数 $\varphi_R$ 的局域化virial泛函 $V_{\varphi_R}(t)$，以处理非径向或非 $L^2(|x|^2dx)$ 初值数据。
• 基于比值 $\|\nabla u\|_{L^2}\|u\|_{L^2}^{\sigma}/\|\nabla Q\|_{L^2}\|Q\|_{L^2}^{\sigma}$ 进行连续性论证，证明其保持远离1。
• 利用质量和能量守恒，推导出精化virial估计，表明方差具有负加速度，从而导致爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\alpha = \alpha_{\star}$ 时，聚焦型非齐次非线性Schrödinger方程的 $H^1$ 解在何种条件下会在有限时间内爆破？
• RQ2 在中间临界情形 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 下，是否可对非 $xu_0 \in L^2$ 的径向负能量初值数据证明爆破？
• RQ3 在中间临界情形下，低于基态的爆破是否对径向 $H^1$ 初值数据成立，即使 $u_0 \notin L^2(|x|^2dx)$？
• RQ4 与标准NLS方程相比，非齐次项 $|x|^{-b}$ 如何影响爆破动力学？
• RQ5 virial方法是否可被调整以证明在一维情形下非径向、负能量数据的爆破？

主要发现

• 在质量临界情形 $\alpha = \alpha_{\star}$ 下，若初值满足负能量且 $xu_0 \in L^2$，或初值为径向且 $d \geq 2$，则 $H^1$ 解在有限时间内爆破。
• 在一维情形下，对任意 $H^1$ 初值数据，只要能量为负，即可证明有限时间爆破，即使不具有径向对称性。
• 在中间临界情形 $\alpha_{\star} < \alpha < \alpha^{\star}$ 下，对 $d \geq 2$ 的径向初值数据，若能量为负，则有限时间爆破成立。
• 该论文将Farah关于低于基态的爆破结果推广至 $H^1$ 初值数据，无需要求其属于virial空间 $H^1 \cap L^2(|x|^2dx)$，前提是初值为径向。
• 精化virial估计表明，在给定条件下有 $\frac{d^2}{dt^2}\|xu(t)\|_{L^2}^2 \leq -c < 0$，从而蕴含有限时间爆破。
• 证明依赖于一个连续性论证，即比值 $\|\nabla u(t)\|_{L^2}\|u(t)\|_{L^2}^{\sigma}/\|\nabla Q\|_{L^2}\|Q\|_{L^2}^{\sigma}$ 保持远离1，从而确保不稳定性。