[论文解读] Blowup of Smooth Solutions to the Navier-Stokes Equations for Compressible Isothermal Fluids

Dapeng Du, Jingyu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明了当初始密度具有紧支集且非平凡时，一维和二维等温可压缩N-S方程的光滑解在有限时间内发生爆破。通过加权能量积分法与能量守恒，作者表明动量积分随时间线性增长，而初始数据项保持有界，除非解发生爆破，否则将导致矛盾，从而在1D和2D中建立了径向对称初始数据的有限时间爆破。

ABSTRACT

It is shown that the one-dimensional or two-dimensional radially symmetric isothermal compressible Navier-Stokes system has no non-trivial global smooth solutions if the initial density is compactly supported. This result is a generalization of Xin's work \cite{Xin98} to the isothermal case.

研究动机与目标

• 建立在初始密度具有紧支集条件下，可压缩等温N-S方程光滑解存在有限时间爆破的结论。
• 将Xin关于非巴罗特罗普流体的爆破结果，从非巴罗特罗普情形推广至一维和二维的等温流体。
• 证明当初始数据为径向对称且具有紧支集时，全局光滑解不可能存在。
• 为等温情形提供一种基于加权动量积分与能量守恒的简化证明方法。

提出的方法

• 使用函数方法，对动量方程乘以空间权重 $ x $ 进行积分，推导出涉及密度与速度的积分恒等式。
• 基于粒子轨迹分析与连续性方程，证明密度在所有时间保持紧支集。
• 通过将连续性方程与动量方程分别乘以 $ \ln(\rho + \epsilon) $ 与 $ u $，并取极限 $ \epsilon \to 0 $，推导出系统的能量守恒。
• 通过能量估计建立 $ \nabla u $ 的 $ L^2 $ 有界性，确保其在时间上可积。
• 在1D与2D中应用牛顿-莱布尼茨不等式，将 $ u \cdot x $ 的 $ L^\infty $ 范数用 $ \| \nabla u \|_{L^2} $ 控制。
• 矛盾论证：动量积分恒等式左侧有界，而右侧随时间线性增长，意味着解必在有限时间内爆破。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度具有紧支集且非平凡时，等温可压缩N-S方程的光滑解是否能在全局时间存在？
• RQ2 在非巴罗特罗普与等熵流中观察到的爆破机制是否可推广至一维与二维的等温情形？
• RQ3 径向对称在具有紧支集初始数据的可压缩N-S流体有限时间奇点形成过程中起何种作用？
• RQ4 是否可采用统一方法证明等温、等熵与非巴罗特罗普情形下的爆破结果？

主要发现

• 一维与二维等温可压缩N-S方程在初始密度具有紧支集时，其光滑解不能在全局时间存在。
• 动量积分 $ \int \rho u \cdot x \, dx $ 由于压强项 $ a \int \rho \, dx = a m_0 $ 的贡献，随时间线性增长，该贡献为 $ a m_0 t $。
• 初始动量项 $ \int \rho_0 u_0 \cdot x \, dx $ 保持有界，且 $ u \cdot x $ 的 $ L^\infty $ 范数由 $ \nabla u $ 的 $ L^2 $ 范数控制，后者在时间上一致有界。
• 能量守恒与 $ \nabla u $ 的 $ L^2 $ 有界性确保动量积分恒等式左侧有界，而右侧随时间线性增长。
• 左侧有界与右侧线性增长之间的矛盾意味着解必须在有限时间内爆破。
• 在 $ \mu > 0 $，$ \lambda + \frac{2}{n}\mu > 0 $，且初始密度非平凡、具有紧支集并满足二维中径向对称或一维中任意对称的条件下，爆破结果成立。