[论文解读] Blowup solutions for a nonlinear heat equation involving a critical power nonlinear gradient term

Tej‐Eddine Ghoul, Van Tien Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 41被引用 20

一句话总结

本文针对带临界二次梯度项（$\alpha |\nabla U|^2$）和指数反应项（$e^U$）的非线性热方程构造了一个有限时间爆破解，证明了解及其梯度在原点处同时爆破。由于梯度项的临界性，最终的爆破轮廓与 $\alpha=0$ 的情形不同，且通过有限维约化与指标理论，建立了该解在初始数据扰动下的稳定性。

ABSTRACT

We consider the following exponential reaction-diffusion equation involving a nonlinear gradient term: $$\\partial_t U = \\Delta U + \\alpha|\ abla U|^2 + e^U,\\quad (x, t)\\in\\mathbb{R}^N\ imes[0,T), \\quad \\alpha > -1.$$ We construct for this equation a solution which blows up in finite time $T > 0$ and satisfies some prescribed asymptotic behavior. We also show that the constructed solution and its gradient blow up in finite time $T$ simultaneously at the origin, and find precisely a description of its final blowup profile. It happens that the quadratic gradient term is critical in some senses, resulting in the change of the final blowup profile in comparison with the case $\\alpha = 0$. The proof of the construction inspired by the method of Merle and Zaag in 1997, relies on the reduction of the problem to a finite dimensional one, and uses the index theory to conclude. One of the major difficulties arising in the proof is that outside the \ extit{blowup region}, the spectrum of the linearized operator around the profile can never be made negative. Truly new ideas are needed to achieve the control of the outer part of the solution. Thanks to a geometrical interpretation of the parameters of the finite dimensional problem in terms of the blowup time and the blowup point, we obtain the stability of the constructed solution with respect to perturbations of the initial data.

研究动机与目标

• 为非线性热方程 $\partial_t U = \Delta U + \alpha |\nabla U|^2 + e^U$（$\alpha > -1$）构造一个在有限时间 $T>0$ 内爆破的解。
• 精确刻画解及其梯度在原点处的最终爆破轮廓。
• 证明二次梯度项为临界项，导致其爆破轮廓与 $\alpha = 0$ 的情形不同。
• 建立所构造爆破解在初始数据小扰动下的稳定性。
• 克服外区控制的挑战：线性化算子的谱无法变为负，需引入新的分析技巧。

提出的方法

• 使用相似变量变换，将爆破问题转化为标量方程的大时间渐近分析。
• 采用受 Merle 和 Zaag（1997）启发的有限维约化方法，将无穷维PDE约化为有限维动力系统。
• 应用指标理论以控制解在爆破时刻与爆破点附近的行为。
• 通过爆破时间与爆破位置的几何解释，将有限维参数与稳定性联系起来。
• 使用加权能量估计与带奇异核的Gronwall型不等式，控制不同空间区域中的解。
• 结合引理B.1与Gronwall不等式变体（引理B.3），并辅以积分估计（引理B.2），控制外区解及其梯度。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界二次梯度项 $\alpha |\nabla U|^2$ 如何影响方程 $\partial_t U = \Delta U + \alpha |\nabla U|^2 + e^U$ 的爆破轮廓？
• RQ2 当 $\alpha > -1$ 且 $r=2$ 为临界情形时，解及其梯度的精确最终爆破轮廓为何？
• RQ3 为何爆破轮廓与 $\alpha = 0$ 的情形不同？临界指数 $r=2$ 如何改变动力学行为？
• RQ4 所构造的爆破解能否在初始数据小扰动下保持稳定性？
• RQ5 在无法使线性化算子谱为负的外区，需要何种新的分析技巧来实现控制？

主要发现

• 解及其梯度在有限时间 $T>0$ 内于原点处同时爆破，且具有精确描述的最终爆破轮廓。
• 由于二次梯度项的临界性，爆破轮廓与 $\alpha = 0$ 的情形不同，其渐近结构被改变。
• 通过有限维参数的几何解释，证明了所构造解在初始数据小扰动下具有稳定性。
• 外区控制通过新型估计实现，包括加权 $L^\infty$ 范数与带奇异核的积分不等式。
• 对小的 $\epsilon$，在内区 $|\xi| < 1/8$ 内，解满足 $e^{u(\xi,\tau)} \leq C\epsilon (1-\tau)^{-\epsilon}$ 且 $|\nabla u(\xi,\tau)| \leq C\epsilon$，对所有 $\tau \in [0,1)$ 一致成立。
• 爆破速率满足 $\lim_{t \to T} \left[ U(a + z\sqrt{(T-t)|\ln(T-t)|}, t) + \ln(T-t) \right] = \Phi_0(z) = -\ln\left(1 + \frac{|z|^2}{4}\right)$，证实了中间尺度的爆破轮廓。