[论文解读] BMO solvability and the $A_\infty$ condition for elliptic operators

Martin Dindoš, Carlos E. Kenig+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文建立了非退化形式椭圆算子在有界可测系数下BMO Dirichlet问题可解性与相关椭圆测度满足$A_\infty$条件之间的等价性。证明了BMO可解性蕴含对所有$p > p_0$的$L^p$可解性，提供了一个端点扰动结果，将解的Carleson测度性质与椭圆测度的绝对连续性联系起来。

ABSTRACT

We establish a connection between the absolute continuity of elliptic measure associated to a second order divergence form operator with bounded measurable coefficients with the solvability of an endpoint $BMO$ Dirichlet problem. We show that these two notions are equivalent. As a consequence we obtain an end-point perturbation result, i.e., the solvability of the $BMO$ Dirichlet problem implies $L^p$ solvability for all $p>p_0$.

研究动机与目标

• 建立端点BMO Dirichlet问题可解性与椭圆测度相对于表面测度的绝对连续性之间的联系。
• 证明Dirichlet问题的BMO可解性等价于椭圆测度属于Muckenhoupt $A_\infty$类。
• 证明一个端点扰动结果：BMO可解性蕴含对所有$p > p_0$的$L^p$可解性。
• 证明$A_\infty$条件具有可扰动性，从而可实现从BMO到$L^p$空间的可解性转移。

提出的方法

• 利用De Giorgi-Nash-Moser理论建立非退化形式椭圆方程弱解的Hölder连续性。
• 应用Carleson测度理论，通过方差函数和非切向极大函数刻画解在边界附近的梯度增长。
• 运用比较原理和Green函数估计，将椭圆测度与Lipschitz区域上的表面测度联系起来。
• 利用$t|\nabla u|^2 dx dt$的Carleson测度范数与边界数据的BMO半范数之间的等价性，将解的行为与$A_\infty$权联系起来。
• 应用$A_p$权理论及其对偶性，证明$A_\infty$蕴含对所有$p > p_0$的$L^p$可解性。
• 对$L^p$中连续函数的逼近序列使用极限论证，将$L^p$可解性推广至BMO数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 BMO Dirichlet问题的可解性是否等价于椭圆测度关于表面测度属于$A_\infty$类？
• RQ2 BMO可解性是否蕴含对某个$p > p_0$的$L^p$可解性？
• RQ3 能否通过解的Carleson测度性质表征$A_\infty$条件？
• RQ4 $A_\infty$条件是否对扰动具有鲁棒性，从而实现从BMO到$L^p$的可解性转移？
• RQ5 具有BMO边界数据的解能否在$L^p$中由连续函数逼近，同时保持非切向极大函数的统一有界性？

主要发现

• 非退化形式椭圆算子的BMO Dirichlet问题可解，当且仅当其相关的椭圆测度关于表面测度属于$A_\infty$类。
• $A_\infty$条件意味着椭圆测度与表面测度相互绝对连续，从而确保边界值问题的正则性。
• BMO可解性蕴含对所有$p > p_0$的$L^p$可解性，其中$p_0$是使得椭圆测度属于$B_p$类的$p$的下确界。
• $t|\nabla u|^2 dx dt$的Carleson测度范数与边界数据的BMO半范数等价，建立了解的行为与边界正则性之间的定量联系。
• $A_\infty$条件在小扰动下保持不变，使其成为实现从BMO到$L^p$空间可解性转移的鲁棒条件。
• 具有BMO边界数据的解可在$L^p$中由连续函数逼近，使得非切向极大函数保持一致有界，从而在$W^{1,2}_{\text{loc}}$中收敛于弱解。