[论文解读] Bogomolov multipliers and retract rationality for semi-direct products

Ming-chang Kang|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文为满足 $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 的半直积 $ G = N \rtimes G_0 $ 建立了 Bogomolov 多重性 $ B_0(G) $ 的公式，证明了 $ B_0(G) \cong B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $，并证明了 $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $。此外，本文构造了具有任意大的 $ p $-秩和指数为 $ p^n $ 的 Bogomolov 多重性的非直积 $ p $-群，并将 Saltman 与 Jambor 的可收缩有理性判定准则推广至包含单位根的无限域上的群域。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group. The Bogomolov multiplier $B_0(G)$ is constructed as an obstruction to the rationality of $\bm{C}(V)^G$ where $G o GL(V)$ is a faithful representation over $\bm{C}$. We prove that, for any finite groups $G_1$ and $G_2$, $B_0(G_1 imes G_2)\xrightarrow{\sim} B_0(G_1) imes B_0(G_2)$ under the restriction map. If $G=N times G_0$ with $\gcd\{|N|,|G_0|\}=1$, then $B_0(G)\xrightarrow{\sim} B_0(N)^{G_0} imes B_0(G_0)$ under the restriction map. For any integer $n$, we show that there are non-direct-product $p$-groups $G_1$ and $G_2$ such that $B_0(G_1)$ and $B_0(G_2)$ contain subgroups isomorphic to $(\bm{Z}/p \bm{Z})^n$ and $\bm{Z}/p^n \bm{Z}$ respectively. On the other hand, if $k$ is an infinite field and $G=N times G_0$ where $N$ is an abelian normal subgroup of exponent $e$ satisfying that $ζ_e\in k$, we will prove that, if $k(G_0)$ is retract $k$-rational, then $k(G)$ is also retract $k$-rational provided that certain "local" conditions are satisfied; this result generalizes two previous results of Saltman and Jambor \cite{Ja}.

研究动机与目标

• 确定满足 $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 的半直积 $ G = N \rtimes G_0 $ 的 Bogomolov 多重性 $ B_0(G) $ 的结构，推广已知的直积结果。
• 证明在限制映射下，$ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $，推广多重性在积群下的行为。
• 构造非直积的 $ p $-群 $ G_1 $ 与 $ G_2 $，使得 $ B_0(G_1) $ 包含一个同构于 $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $ 的子群，且 $ B_0(G_2) \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $，展示非交换、非直积群中存在大多重性。
• 通过证明：若 $ k(G_0) $ 是可收缩 $ k $-有理的且满足某些局部条件，则当 $ G = N \rtimes G_0 $，$ N $ 为交换群且 $ \zeta_e \in k $ 时，$ k(G) $ 是可收缩 $ k $-有理的，推广 Saltman 与 Jambor 的可收缩有理性判定准则。

提出的方法

• 利用 Bogomolov 多重性定义为从 $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 到所有双循环子群 $ A \leq G $ 的 $ H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 的限制映射核的交集，并借助同构关系 $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) \cong B_0(G) $。
• 应用 Hochschild-Serre 族谱序列，将 $ B_0(G) $ 与 $ B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ 关联，利用 $ G_0 $ 通过共轭作用在 $ B_0(N) $ 上的事实。
• 通过涉及 $ \sigma $、$ u_i $ 与 $ \zeta_{p^n} $ 的生成元与关系的群表示，显式构造阶为 $ p^5 $ 与 $ p^6 $ 的 $ p $-群 $ G_1 $ 与 $ G_2 $，以实现所需的多重性结构。
• 使用 Hochschild-Serre 的 7 项正合序列计算阶为 $ p^5 $ 与 $ 2^6 $ 的 $ p $-群的 $ B_0(G) $，表明在已知情形下 $ B_0(G) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 或 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $。
• 证明：若 $ k $ 为无限域且 $ \zeta_e \in k $，且 $ k(G_0) $ 是可收缩 $ k $-有理的，则在满足局部条件时 $ k(G) $ 是可收缩 $ k $-有理的，利用有理截面的存在性与代数几何技巧。
• 分析 2-上循环在双循环子群 $ A = \langle x, y \rangle $ 上的限制，表明若 $ \operatorname{ord}(I), \operatorname{ord}(J) \leq n-1 $，则该上循环可通过由 $ \alpha $ 在 $ \langle x \rangle $ 上定义的 1-上链 $ \beta $ 变为上边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 的半直积 $ G = N \rtimes G_0 $，Bogomolov 多重性 $ B_0(G) $ 的结构是什么？
• RQ2 在何种条件下，$ B_0(G) $ 关于直积的行为满足 $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $？
• RQ3 能否构造出具有任意大 $ p $-秩或指数为 $ p^n $ 的 Bogomolov 多重性的非直积 $ p $-群？
• RQ4 在 $ N $ 为交换群且 $ \zeta_e \in k $ 的条件下，$ k(G_0) $ 的可收缩有理性在何种条件下能推出 $ k(G) $ 的可收缩有理性（$ G = N \rtimes G_0 $）？
• RQ5 限制映射 $ \operatorname{res}: B_0(G) \to B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $ 在半直积的 Bogomolov 多重性分解中起什么作用？

主要发现

• 直积的 Bogomolov 多重性满足 $ B_0(G_1 \times G_2) \cong B_0(G_1) \times B_0(G_2) $，通过限制映射实现，推广了已知结果。
• 对于满足 $ \gcd(|N|, |G_0|) = 1 $ 的 $ G = N \rtimes G_0 $，有 $ B_0(G) \cong B_0(N)^{G_0} \times B_0(G_0) $，通过限制映射实现，提供了多重性的分解。
• 对任意整数 $ n $，存在非直积的 $ p $-群 $ G_1 $ 与 $ G_2 $，使得 $ B_0(G_1) $ 包含同构于 $ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n $ 的子群，且 $ B_0(G_2) \cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} $，表明在非交换、非积群中可存在大多重性。
• 若 $ k $ 为无限域且 $ \zeta_e \in k $，且 $ k(G_0) $ 是可收缩 $ k $-有理的，则在某些局部条件下 $ k(G) $ 是可收缩 $ k $-有理的，扩展了 Saltman 与 Jambor 的结果。
• 对阶为 $ p^5 $（奇素数 $ p $）或 $ 2^6 $ 的 $ p $-群，$ B_0(G) \neq 0 $ 当且仅当 $ G $ 属于特定的同构类族，此时 $ B_0(G) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ 或 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $，分别对应。
• 证明表明，$ B_0(G) $ 中的任意 2-上循环在每个双循环子群 $ A \leq G $ 上的限制均为上边界，通过从 $ \langle x \rangle \leq A $ 上的 1-上循环 $ \alpha $ 构造 1-上链 $ \beta $，确保其在上同调中平凡。